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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 14:08:23 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-04-08 14:08:23 (GMT)
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Introduce alternative notation "ord" for valuations.
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index 552c8cc..79f6c87 100644
--- a/notes-accq205.tex
+++ b/notes-accq205.tex
@@ -49,6 +49,7 @@
\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}}
\newcommand{\divis}{\operatorname{div}}
\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}}
+\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
@@ -4339,10 +4340,10 @@ rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant
qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme
irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Si on
préfère, au moins si $k$ est parfait, on peut aussi le noter
-$v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture
-algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme $h$ se factorise dans
-$k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où $\xi_i$ parcourt les
-conjugués de $\xi$,
+$v_\xi(f)$ (ou $\ord_\xi(f)$), où $\xi$ est une racine quelconque de
+$h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme
+$h$ se factorise dans $k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où
+$\xi_i$ parcourt les conjugués de $\xi$,
cf. \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations} et
aussi \ref{function-field-of-the-line}).
@@ -4379,7 +4380,7 @@ le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$.
\thingy Il existe une autre valuation non-triviale de $k(t)$ au-dessus
de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la
différence $\deg(g) - \deg(f)$ du degré du dénominateur et du degré du
-numérateur. On la notera $v_\infty$.
+numérateur. On la notera $v_\infty$ (ou $\ord_\infty$).
L'anneau de valuation $\mathcal{O}_\infty$ associé est l'anneau des
fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou
@@ -4433,12 +4434,12 @@ valeur $1$ doit être atteinte.
$\mathbb{P}^1_k$ (:= la droite projective sur $k$, c'est-à-dire la
courbe dont le corps des fonctions est $k(t)$) peuvent donc
s'identifier aux éléments de $k$ (le point $x\in k$ étant identifié à
-la valuation qui à $f \in k(t)$ associe l'ordre $v_x(f)$ du zéro, ou
-l'opposé de l'ordre du pôle, de $f$ en $x$) plus un élément
-supplémentaire $\infty$ (correspondant à la valuation $v_\infty$ à
-l'infini). C'est cette vision (« la droite des points de $k$ plus un
- point à l'infini ») qu'on a à l'esprit en traitant $\mathbb{P}^1_k$
-de « droite projective ».
+la valuation qui à $f \in k(t)$ associe l'ordre $v_x(f) =: \ord_x(f)$
+du zéro, ou l'opposé de l'ordre du pôle, de $f$ en $x$) plus un
+élément supplémentaire $\infty$ (correspondant à la valuation
+$v_\infty =: \ord_\infty$ à l'infini). C'est cette vision (« la
+ droite des points de $k$ plus un point à l'infini ») qu'on a à
+l'esprit en traitant $\mathbb{P}^1_k$ de « droite projective ».
Lorsque $k$ n'est plus supposé algébriquement clos, les places de
$\mathbb{P}^1_k$ sont un peu plus compliquées ; il faut imaginer que
@@ -4884,8 +4885,8 @@ unitaires irréductibles de $k[t]$, plus une place « à
à la valuation $v_h$, pour $h$ unitaire irréductible, qui vérifie
$\deg P_h = \deg h$ ; pour $h$ de degré un, c'est-à-dire de la forme
$t - x$, on peut noter simplement $x$ la place en question (i.e.,
-$v_x(f)$ est l'ordre du zéro, ou l'opposé de l'ordre du pôle, d'une
-fonction rationnelle $f$ en $x$).
+$v_x(f) = \ord_x(f)$ est l'ordre du zéro, ou l'opposé de l'ordre du
+pôle, d'une fonction rationnelle $f$ en $x$).
Si $D = n_\infty (\infty) + \sum_h n_h\cdot(P_h) \in
\Divis(\mathbb{P}^1_k)$ est un diviseur sur $\mathbb{P}^1_k$ (où
@@ -4915,13 +4916,16 @@ de $C$). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de
Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel
\[
\begin{aligned}
-\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, v_P(f) \geq -n_P\}\\
+\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, \ord_P(f) \geq -n_P\}\\
&= \{f \in K : \divis(f) + D \geq 0\}\\
\end{aligned}
\]
des fonctions rationnelles sur $C$ qui ont en chaque place $P$ un pôle
d'ordre au plus $n_P$ (ou un zéro d'ordre au moins $n_P$ dans le cas
où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul).
+Ici, $\ord_P(f)$ désigne la valuation de $f$ donnée par la place $P$
+(notée $v_P(f)$ plus haut), c'est-à-dire le coefficient de $(P)$
+dans $\divis(f)$.
On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace
vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie).