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diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex index 99f8639..cf8b863 100644 --- a/controle-20180411.tex +++ b/controle-20180411.tex @@ -145,15 +145,17 @@ dans $\mathbb{A}^2$. (2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$, -dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) à l'infini +dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) « à l'infini » de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$. (2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») : quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de $\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C = -\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? Sur le corps des réels, -représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines. +\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? (2c) Sur le corps des +réels, représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes +affines. Donner quelques exemples de points qui se correspondent sur +chacun des dessins. \centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} @@ -187,10 +189,10 @@ en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $x$. (4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un -polynôme (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$ -n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h -= y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en -l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K := +polynôme en $x$ (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - +x$ n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que +$h = y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ +en l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K := k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un \emph{corps}. |