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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 494391c..731ad85 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5336,27 +5336,32 @@ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a : \begin{itemize} \item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e., si $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et -\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$. +\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$, et plus généralement + $\ord_P(df) \geq \ord_P(f)$ si $\ord_P(f)$ est multiple de la + caractéristique de $k$. \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} Soit $R := \mathcal{O}_P$ et soit $t$ une uniformisante en $P$ (i.e., $\ord_P(t) = 1$). -La seconde propriété citée a déjà été signalée (elle affirme que les -$df$ pour $f \in R$ appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). Reste à montrer -la première. +La seconde propriété que $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$ a +déjà été signalée (elle affirme que les $df$ pour $f \in R$ +appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). On va l'utiliser pour montrer les +autres. D'après \ref{order-of-differential-wrt-uniformizer}, on sait que $\ord_P(df) = \ord_P(df/dt)$. Écrivons $f = u t^i$ où $i = \ord_P(f)$ et $u \in R^\times$ (en utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}). On a alors $df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} = -i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$, le premier terme a -valuation exactement $i-1$ et le second a valuation $\geq i$ (car -$du/dt \in R$ comme on vient de le voir au paragraphe précédent), donc -la valuation de la somme est $i-1$ (on -utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). +i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$ dans $k$, le +premier terme a valuation exactement $i-1$ et le second a +valuation $\geq i$ (car $du/dt \in R$ comme on vient de le voir au +paragraphe précédent), donc la valuation de la somme est $i-1$ (on +utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Si +$i=0$ dans $k$, le premier terme s'annule et le second a toujours +valuation $\geq i$. \end{proof} \begin{prop} @@ -5416,6 +5421,21 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par corps des fonctions.} $W \in \Pic(C)$ de n'importe quel diviseur canonique. +\thingy Si $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ est un diviseur et $W$ un +diviseu canonique, on pourra remarquer que +\[ +\mathscr{L}(W-D) \cong \{\omega \in \Omega^1_{K/k} : (\forall P)\, +\ord_P(\omega) \geq n_P\} +\] +(où $\cong$ désigne un isomorphisme de $k$-espace vectoriels, +c'est-à-dire l'égalité des dimensions) : précisément, si $W = +\divis(\omega_0)$, alors $\mathscr{L}(W-D) = \{f \in K^\times : +\divis(f) + \divis(\omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\} = \{f \in +K^\times : \divis(f \omega_0) - D \geq 0\} \cup \{0\}$ est isomorphe +via $f \mapsto f\omega_0$ à $\{\omega\in \Omega^1_{K/k}\setminus\{0\} +: \divis(\omega) - D \geq 0\} \cup \{0\}$, c'est-à-dire ce qu'on a +écrit ci-dessus. + \subsection{Le théorème de Riemann-Roch}\label{subsection-riemann-roch} @@ -5475,8 +5495,8 @@ nous permet de calculer $g_{\mathbb{P}^1}$ par $2g_{\mathbb{P}^1} - 2 = -2$ soit $g_{\mathbb{P}^1} = 0$. Voici une forme de réciproque : \begin{prop} -Soit $C$ une courbe géométriquement intègre de genre $0$ et ayant une -place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}). Alors $C$ est +Soit $C$ une courbe géométriquement irréductible de genre $0$ et ayant +une place rationnelle (cf. \ref{degree-of-a-place}). Alors $C$ est isomorphe à $\mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire que $k(C)$ est $k(t)$ : la courbe est \emph{rationnelle}). \end{prop} @@ -5487,16 +5507,10 @@ $\ell((P)) = 2$. Il existe donc une fonction $f$ non-constante, admettant au plus un pôle simple, en $P$ ; comme elle est non-constante, d'après \ref{constant-functions-on-a-curve}, elle doit aussi avoir un pôle, donc $\divis(f)$, qui doit être de degré $0$, est -de la forme $(P) - (Q)$. - -On applique encore \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) au diviseur $D -:= (P)-(Q)$ : il montre que $\ell(D) = 1$. -Mais \ref{negative-degree-divisors-have-no-sections} montre que $D -\sim 0$, c'est-à-dire qu'il existe $f \in k(C)$ tel que $\divis(f) = -(P) - (Q)$. D'après \ref{degree-identity}, on voit que $\deg f -:=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ est -transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ est -le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. +de la forme $(Q) - (P)$. D'après \ref{degree-identity}, on voit que +$\deg f :=[k(C):k(f)] = 1$, c'est-à-dire $k(C) = k(f)$, et comme $f$ +est transcendante parce que non constante, on a bien montré que $k(C)$ +est le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. \end{proof} |