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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index aeaebc9..4c335c4 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1818,7 +1818,8 @@ l'élément $x_{d+1}$ est séparable. \subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats} -\thingy Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$ +\thingy\label{definition-conjugate-elements} +Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$ deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$ lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit, lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit @@ -1978,7 +1979,8 @@ groupe de Galois fixe l'objet considéré (pour une certaine action provenant de l'action naturelle sur $L$ : par exemple, pour un polynôme, l'action sur les coefficients du polynôme). -\thingy Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps +\thingy\label{galois-group-of-polynomial-and-permutations} +Le groupe de Galois d'un polynôme séparable $f$ sur un corps $K$ est le groupe de Galois $G$ du corps de décomposition (cf. \ref{definition-decomposition-field}) $L$ de $f$ : il s'agit bien d'une extension galoisienne, et par ailleurs, tout $\sigma \in G$ doit @@ -2010,6 +2012,17 @@ quoi toute permutation n'est pas forcément possible au sein des racines d'un même polynôme irréductible, et il n'est pas non plus évident de \emph{calculer} effectivement un groupe de Galois. +A minima, on retiendra que, pour $L$ galoisienne sur $K$, les +\emph{orbites} de $L$ sous l'action du groupe de Galois $G := +\Gal(K\subseteq L)$ (c'est-à-dire les $\{\sigma(x) : \sigma\in G\}$ +pour $x \in L$) sont exactement les classes d'équivalence pour la +relation « être conjugués sur $K$ » +(cf. \ref{definition-conjugate-elements}) ; ou, si on préfère, on a +une bijection entre l'ensemble des polynômes unitaires irréductibles +sur $K$ qui se scindent dans $L$ et l'ensemble $L/G$ des orbites de +$L$ sous $G$, la bijection envoyant $f$ sur l'ensemble de ses racines +dans $L$. + \thingy Dans beaucoup de cas, le groupe de Galois d'un polynôme $f \in K[t]$ irréductible séparable de degré $n$ est égal au groupe $\mathfrak{S}_n$ de toutes les permutations des racines de $f$ (ceci @@ -3062,14 +3075,15 @@ irréductibles dans $k[t]$. Si $k$ est \emph{parfait}, tout $h \in (t-\xi)$ où $M$ est une orbite de $k$ sous $\Gamma_k := \Gal(k \subseteq k^{\alg})$ (puisque deux éléments de $k$ sont conjugués si et seulement si ils sont dans la même orbite sous $\Gamma_k$, -notamment d'après \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)). -On peut donc écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique -sous la forme $c \prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in -k^\times$, les $v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un -nombre fini, et $v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e., -$v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$ pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in -k^{\alg}$). Un des thèmes de ce qui va suivre est de généraliser ce -type d'écriture au corps des fonctions d'une courbe quelconque. +notamment d'après \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations} +ou \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(2b)). On peut donc +écrire tout élément non nul de $k(t)$ de façon unique sous la forme $c +\prod_{\xi \in k^{\alg}} (t-\xi)^{v_\xi}$ où $c \in k^\times$, les +$v_\xi$ sont des entiers (relatifs) tous nuls sauf un nombre fini, et +$v_\xi$ est invariant sous $\Gamma_k$ (i.e., $v_{\sigma(\xi)} = v_\xi$ +pour tout $\sigma\in\Gamma_k$ et $\xi \in k^{\alg}$). Un des thèmes +de ce qui va suivre est de généraliser ce type d'écriture au corps des +fonctions d'une courbe quelconque. \thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut |