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diff --git a/exercices.tex b/exercices.tex index a0f40a8..e7a50db 100644 --- a/exercices.tex +++ b/exercices.tex @@ -401,7 +401,7 @@ la question est tournée.) % % -\exercice +\exercice\label{exercice-circular-points-at-infinity} Soient $x_0,y_0,r$ des réels avec $r>0$. Soit $C := \{(x,y) \mid (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\} \subseteq \mathbb{A}^2$ le cercle de @@ -496,4 +496,95 @@ Nullstellensatz) ; bref, $\sqrt{I} = \mathfrak{I}(D) = (y)$. % % % + +\exercice + +Soit $M \in \mathit{PGL}_3(\mathbb{R})$ une transformation projective +du plan projectif $\mathbb{P}^2$ sur les réels. On appellera $I := +(0{:}1{:}i)$ et $J := (0{:}1{:}-i)$ les « points cycliques à +l'infini » (cf. exercice \ref{exercice-circular-points-at-infinity}, +qu'il n'est pas nécessaire d'avoir traité), deux points complexes +de $\mathbb{P}^2$. On voit $\mathbb{A}^2$ dans $\mathbb{P}^2$ en +identifiant le point $(x,y)$ de $\mathbb{A}^2$ au point $(1:x:y)$ +de $\mathbb{P}^2$ ; et on munit $\mathbb{A}^2$ sur les réels de sa +structure euclidienne usuelle pour les coordonnées qu'on vient de +dire, c'est-à-dire que le carré de la distance entre $(x_1,y_1)$ et +$(x_2,y_2)$ est $(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2$. + +Montrer qu'il y a équivalence entre : +\begin{itemize} +\item la transformation projective $M$ fixe le point $I$, +\item la transformation projective $M$ fixe chacun des points + complexes $I$ et $J$, +\item la transformation projective $M$ définit une similitude directe + du plan euclidien (c'est-à-dire, préserve les angles et + l'orientation). +\end{itemize} + +\begin{corrige} +Supposons d'abord que $M$ fixe $I$. Elle doit alors fixer aussi le +point $J$ puisque ce dernier est le conjugué complexe de $I$ et que +$M$ est à coordonnées réelles. Ceci démontre l'équivalence entre les +deux premières propriétés. Par ailleurs, si elles sont vérifiées, +alors $M$ doit aussi envoyer la droite $\ell_\infty := IJ$ sur +elle-même, qui est la « droite à l'infini » (caractérisée par +l'annulation de la première coordonnée homogène) complémentaire du +$\mathbb{A}^2$ qu'on a fixé ; cette condition d'envoyer $\ell_\infty$ +sur elle-même est aussi impliquée par la troisième condition (puisque +$M$ est supposée être une bijection de $\mathbb{P}^2$ sur lui-même qui +se restreint à une bijection de $\mathbb{A}^2$ sur lui-même, donc +aussi de son complémentaire $\ell_\infty$). + +Autrement dit, sous n'importe laquelle des conditions indiquées, $M$ +envoie $\ell_\infty$ sur lui-même, c'est-à-dire que c'est une +transformation \emph{affine}. On peut l'écrire sous la forme : +\[ +\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} ++ +\begin{pmatrix}u\\v\\\end{pmatrix} +\] +c'est-à-dire en coordonnées homogènes +\[ +\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix} +\mapsto +\begin{pmatrix}1&0&0\\u&a&b\\v&c&d\\\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}T\\X\\Y\\\end{pmatrix} +\] +Le fait d'avoir $MI = I$ signifie que $(0:a+ib:c+id) = (0:1:i)$, ou, +si on préfère, $c+id = i(a+ib) = -b+ia$, ce qui équivaut à $b = -c$ et +$d = a$. + +Or la condition $b = -c$ et $d = a$ caractérise les similitudes +directes euclidiennes. Une façon de le voir est de décrire les +similitudes directes par leur action sur le plan complexe : une +similitude directe est une transformation envoyant le point d'affixe +$z := x+iy \in \mathbb{C}$ sur sur $mz+p$ pour certains +$m,p\in\mathbb{C}$ (on peut la voir comme la composée de la rotation +d'angle $\arg m$ autour de l'origine, de l'homothétie de rapport $|m|$ +centrée en l'origine, et de la translation par $p$) ; via +l'identification $m = a+ic$ et $p = u+iv$, cette description coïncide +bien avec la condition qu'on bient d'obtenir. Une autre façon de le +voir consiste à remarquer que les vecteurs +$\begin{pmatrix}a\\c\\ \end{pmatrix}$ et +$\begin{pmatrix}b\\d\\ \end{pmatrix}$ images de +$\begin{pmatrix}1\\0\\ \end{pmatrix}$ et +$\begin{pmatrix}0\\1\\ \end{pmatrix}$ sur deux vecteurs orthogonaux ce +qui signifie $ab+cd=0$, de même norme ce qui siginifie $a^2+c^2 = +b^2+d^2$, et de même orientation ce qui signifie $ad - bc > 0$ ; on +peut ensuite manipuler ces équations de différentes manières pour +arriver au résultat voulu, par exemple en écrivant $(ac+bd)(ab+cd) - +ad(a^2+c^2 -b^2-d^2) = -(a^2-d^2)(ad-bc)$ ce qui montre que +$a^2-d^2=0$ et donc $b^2-c^2=0$, après quoi il est facile de vérifier +que des quatre combinaisons de signes $d=\pm a$ et $b=\pm c$, seule +$b=-c$ et $d=a$ conduit bien à satisfaire les équations avec le signe +voulu sur le discriminant, et donne bien une similitude directe. +\end{corrige} + + +% +% +% \end{document} |