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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 53aa72c..efcaf49 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2100,7 +2100,8 @@ $I$ de $A$ est de type fini. Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est noethérien. En effet, les idéaux de $A/J$ sont de la forme $I/J$ avec $I$ un idéal de $A$ contenant $J$, et si $I$ est de type fini alors -$I/J$ l'est aussi. +$I/J$ l'est aussi (il est engendré par les classes modulo $J$ des +éléments qui engendrent $I$). \begin{prop}[théorème de la base de Hilbert] Si $A$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes à @@ -2411,8 +2412,8 @@ qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical. Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble $(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = (k^{\alg})^d$). Le singleton de tout $x \in k^d$ (à coordonnées -dans $k$, donc) est un fermé de Zariski défini sur $k$ : en effet, -$Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal +\underline{dans $k$}, donc) est un fermé de Zariski défini sur $k$ : +en effet, $Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ (cf. \ref{maximal-ideals-of-points}) où $x = (x_1,\ldots,x_d)$, autrement dit le noyau de la fonction $f \mapsto f(x)$ d'évaluation en $x$. @@ -2558,6 +2559,18 @@ les ensembles qu'on a dit, et on a observé qu'elles sont décroissantes. \end{proof} +\thingy On aurait pu être tenté de définir $Z(\mathscr{F})$ comme +l'ensemble des zéros dans $k^d$, plutôt que $(k^{\alg})^d$, des +éléments de $\mathscr{F}$ : le problème avec ce point de vue est qu'on +peut avoir $Z(I) \cap k^d = \varnothing$ alors que $I$ n'est pas +l'idéal unité : penser au cas de l'idéal engendré par $t^2 + 1$ dans +$\mathbb{R}[t]$ (qui n'est pas l'idéal unité puisque $t^2 + 1$ n'est +pas inversible, et qui n'a pourtant pas de zéro dans $\mathbb{R}$). +Avec le point de vue choisi ici, on a $Z(t^2+1) = \{\pm i\} \subseteq +\mathbb{C}$. On remarquera bien que $\{+i\}$ seul n'est pas un fermé +de Zariski défini sur $\mathbb{R}$ (c'est, en revanche, un fermé de +Zariski défini sur $\mathbb{C}$). + |