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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index c034ed2..1720cab 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3470,13 +3470,15 @@ non-singulières). \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields} \begin{defn} -Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. On appelle -\index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ -au-dessus de $k$ un sous-anneau $R$ de $K$ contenant $k$ et vérifiant -la propriété suivante : +Soit $K$ un corps. On appelle \index{valuation (anneau + de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$ +vérifiant la propriété suivante : \begin{center} pour tout $x \in K$, on a soit $x \in R$ soit $x^{-1} \in R$. \end{center} +Lorsque $k$ est un sous-corps de $K$ contenu dans $R$, on peut dire +que $R$ est un anneau de valuation \textbf{au-dessus} de $k$. + Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de valuation \emph{non-trivial}. \end{defn} @@ -3506,10 +3508,11 @@ On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ : cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et fait de l'ensemble des valuations (non compté le symbole spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des - valuations} de $R$ (ou de $K$ pour $R$), qui n'est autre que le -groupe quotient $K^\times/R^\times$. Avec l'ordre qu'on a mis -ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe ordonné}, c'est-à-dire que si -$u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel que soit $w$. + valuations} (ou \textbf{des valeurs}) de $R$ (ou de $K$ pour $R$), +qui n'est autre que le groupe quotient $\Gamma := K^\times/R^\times$. +Avec l'ordre qu'on a mis ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe + ordonné}, c'est-à-dire que si $u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel +que soit $w$. Lorsque le groupe des valuations est $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire qu'il est engendré par un unique élément (on peut alors choisir un @@ -3517,6 +3520,61 @@ générateur strictement positif, qui est forcément le plus petit élément strictement positif, et qu'on peut noter $1$), on dira que $R$ est un anneau de valuation \defin[discrète (valuation)]{discrète}. +\begin{prop}\label{valuation-ring-versus-valuation-function} +Si $R$ est un anneau de valuation de $K$ et $v\colon K \to \Gamma \cup +\{\infty\}$ la valuation associée, on a les propriétés suivantes : +\begin{itemize} +\item[(o)]$v(x)=\infty$ si et seulement si $x=0$, +\item[(i)]$v(xy) = v(x)+v(y)$, +\item[(ii)]$v(x+y) \geq \min(v(x),v(y))$, +\end{itemize} +et de plus, dans (ii), il y a égalité si $v(x)\neq v(y)$. L'anneau +$R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in K : v(x) +\geq 0\}$. Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement +ordonné et $v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction +surjective vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x) +\geq 0\}$ est un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation +associée. + +En particulier, on peut définir un anneau de valuation discrète comme +un anneau $R$ muni d'une fonction $v\colon K \to \mathbb{Z} \cup +\{\infty\}$ qui vérifie (o), (i) et (ii) et qui atteint la valeur $1$. +\end{prop} +\begin{proof} +Si $v$ est la valuation associée à un anneau de valuation $R$, alors +l'affirmation (o) est la définition du symbole $\infty$, et +l'affirmation (i) est la définition de l'addition dans $\Gamma$ ; pour +montrer (ii), on peut supposer (puisque $\Gamma$ est totalement +ordonné) que $v(x) \geq v(y)$, c'est-à-dire $x = yz$ avec $z \in R$, +auquel cas on a $x+y = y(1+z)$ avec $1+z \in R$, ce qui montre bien +$v(x+y) \geq v(y)$. + +Pour déduire $v(x+y) = \min(v(x),v(y))$ de (ii) dans le cas où $v(x) +\neq v(y)$, on peut supposer $v(x) > v(y)$, et donc $v(x+y) \geq +v(y)$ ; mais par ailleurs, $y = (x+y) - x$ (et bien sûr $v(-1) = 0$ vu +que $(-1)^2 = 1$) si bien que $v(y) \geq \min(v(x+y),v(x))$, or on a +$v(x) > v(y)$ donc en fait $v(x+y) = v(y)$, ce qu'on voulait. + +Le fait que $R = \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ est la définition de +l'ordre (et le fait que $0 = v(1)$). + +Enfin, si $v$ vérifie (o), (i) et (ii) et $R := \{x\in K : v(x) \geq +0\}$, alors $R$ est un sous-anneau de $K$ car il contient $0$ +d'après (o), est stable par addition d'après (ii) et par +multiplication d'après (i) ; et c'est un anneau de valuation car si +$x\not\in R$ c'est que $v(x) < 0$ donc $v(x^{-1}) = -v(x) > 0$ (en +utilisant (i)), donc $x^{-1} \in R$. Et la valuation associée à $R$ +est bien $v$ car $x = yz$ pour $z \in R$ entraîne $v(x) \geq v(y)$ +par (i), et notamment $v(x) = v(y)$ si et seulement si $x = yz$ pour +un certain $z \in R^\times$ : alors $v \colon K^\times \to \Gamma$ +définit un isomorphisme de groupes ordonnés de $K^\times/R^\times$ +sur $\Gamma$. + +Pour ce qui est de l'affirmation du dernier paragraphe, constater que +$v\colon K^\times \to \mathbb{Z}$ est surjective si et seulement si +elle atteint la valeur $1$. +\end{proof} + |