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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index b475c64..a505959 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2042,7 +2042,7 @@ k$ envoyant $f(t_1,\ldots,t_n)$ sur $f(x_1,\ldots,x_n)$ est surjectif vers un corps et a pour noyau $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, ce dernier est un idéal maximal. -\begin{prop} +\begin{prop}\label{maximal-ideals-of-polynomial-rings} Soit $k$ un corps algébriquement clos. Les idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_n]$ sont exactement les idéaux $\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)} := \{f \in k[t_1,\ldots,t_n] : @@ -2109,9 +2109,77 @@ $K = k[z_1,\ldots,z_n]$ est fini sur $k$. \end{proof} +\subsection{Le Nullstellensatz} + +\thingy Soit $k$ un corps. On se pose la question de savoir si +$h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ ont un zéro commun (un « zéro + commun » étant un $(x_1,\ldots,x_n)$ dans $k^n$ ou peut-être dans +$(k^{\alg})^n$ tels que $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$). Une chose est +évidente : si $h_1,\ldots,h_m$ engendrent l'idéal unité, c'est-à-dire +si on peut écrire $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m = 1$ pour certains +$q_1,\ldots,q_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$, alors $h_1,\ldots,h_m$ n'ont +pas de zéro commun (ni dans $k$ ni même dans $k^{\alg}$) : en effet, +en évaluant $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m = 1$ sur un hypothétique zéro +commun on obtiendrait l'absurdité $0 = 1$. + +Le résultat suivant affirme que, sur un corps algébriquement clos (ou +si on cherche un zéro commun dans un corps algébriquement clos), c'est +exactement le bon critère. + +(« Nullstellensatz », de l'allemand « der Satz » = la phrase, le +théorème, « die Stelle » = l'endroit, la place, « die Nullstelle » = +le zéro d'une fonction ou d'un polynôme ; donc : « théorème du lieu + d'annulation ».) + +\begin{prop}[« Nullstellensatz faible »]\label{weak-nullstellensatz} +Soient $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$ +\emph{algébriquement clos}. Si $h_1,\ldots,h_m$ n'engendrent pas +l'idéal unité, alors ils ont un zéro commun dans $k$ (il existe +$x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$ pour +tout $i$). +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal contenant $(h_1,\ldots,h_m)$ (qui +existe d'après \ref{existence-maximal-ideals} puisque +$(h_1,\ldots,h_m)$ n'est pas l'idéal unité). +D'après \ref{maximal-ideals-of-polynomial-rings}, il existe +$x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $\mathfrak{M} = +\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$, notamment $h_i \in +\mathfrak{m}_{(x_1,\ldots,x_n)}$ pour chaque $i$, et ceci signifie +exactement $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$. +\end{proof} + +\begin{thm}[« Nullstellensatz fort »]\label{strong-nullstellensatz} +Soient $g,h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$ +\emph{algébriquement clos}. Si $g$ s'annule sur tous les zéros +communs de $h_1,\ldots,h_m$ (autrement dit si $h_i(x_1,\ldots,x_n) = +0$ pour chaque $i$ implique $g(x_1,\ldots,x_n) = 0$) alors il existe +$\ell \in \mathbb{N}$ tel que $g^\ell$ appartienne à l'idéal +$(h_1,\ldots,h_m)$ engendré par les $h_i$. +\end{thm} +\begin{proof} +Le cas $g = 0$ est trivial, donc supposons le contraire. + +Introduisons une nouvelle indéterminée $u$, et considérons les +polynômes $h_1,\ldots,h_m$ et $ug-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_n,u]$. +L'hypothèse signifie exactement qu'ils n'ont pas de zéro commun +dans $k^{n+1}$. Le Nullstellensatz faible \ref{weak-nullstellensatz} +implique donc qu'ils engendrent l'idéal unité de +$k[t_1,\ldots,t_n,u]$, c'est-à-dire qu'il existe $q_1,\ldots,q_m,r \in +k[t_1,\ldots,t_n,u]$ tels que $q_1 h_1 + \cdots + q_m h_m + r(ug-1) = +1$. Remplaçons $u$ par $\frac{1}{g} \in k(t_1,\ldots,t_n)$ dans cette +égalité : on a $\tilde q_1 h_1 + \cdots + \tilde q_m h_m = 1$ où les +$\tilde q_i \in k(t_1,\ldots,t_n)$ sont les $q_i$ ainsi substitués. +Mais les $\tilde q_i$ admettent $g^\ell$ comme dénominateur commun +(disons $\tilde q_i = p_i / g^\ell$ avec $p_i \in k[t_1,\ldots,t_n]$) +où $\ell$ est la plus grande puissance de $u$ intervenant dans +n'importe lequel des $p_i$. En chassant ces dénominateurs, on trouve +$p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer. +\end{proof} + + % TODO: -% * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski. % * Différentielles. % * Valuations. Clôture intégrale ? |