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diff --git a/controle-20210414.tex b/controle-20210414.tex new file mode 100644 index 0000000..a40e088 --- /dev/null +++ b/controle-20210414.tex @@ -0,0 +1,259 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{14 avril 2021} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +\textcolor{red}{À écrire} + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\ifcorrige +Ce corrigé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse). +\else +Cet énoncé comporte \textcolor{red}{nnn} pages (page de garde incluse). +\fi + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on +pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la +clôture algébrique. + +\smallbreak + +\textbf{(1)} Montrer le fait suivant (théorème d'Euler sur les +polynômes homogènes) : si $h$ est un polynôme homogène de degré $\ell$ +en les variables $t_0,\ldots,t_n$ alors $t_j\,\sum_{j=0}^n +\frac{\partial h}{\partial t_j} = \ell h$ (égalité dans +$k[t_0,\ldots,t_n]$). Pour cela, on pourra justifier qu'il suffit de +le prouver lorsque $h$ est un monôme. + +\smallbreak + +Dans la question qui suit, on s'intéresse à une équation de degré $2$ +sur la droite : + +\textbf{(2)} (a) Pour $c_0,c_1\in k$, considérons le polynôme unitaire +$q := t^2 + c_1 t + c_0$ (en une indéterminée $t$) : en posant $\Delta +:= c_1^2 - 4 c_0$, expliquer pourquoi, si $\Delta$ est nul, $q$ est le +carré d'un polynôme unitaire de degré $1$ dans $k[t]$, tandis que si +$\Delta$ est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[t]$ de deux +polynômes unitaires de degré $1$ distincts, ces polynômes étant dans +$k[t]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré +dans $k$. $\bullet$ (b) En déduire que, si $c_0,c_1,c_2$ sont trois +éléments de $k$ non tous nuls, et si on on appelle $q := c_2 x^2 + c_1 +x y + c_0 y^2$ (polynôme homogène de degré $2$ en les +indéterminées $x,y$) et si on pose $\Delta := c_1^2 - 4 c_0 c_2$, +alors, de façon analogue, si $\Delta$ est nul, $q$ est le carré d'un +polynôme homogène de degré $1$ dans $k[x,y]$, tandis que si $\Delta$ +est non nul, $q$ est produit dans $k^{\alg}[x,y]$ de deux polynômes +homogènes de degré $1$ non proportionnels, ces polynômes étant dans +$k[x,y]$ si et seulement si $\Delta$ est un carré +dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de +Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective +$\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ : +pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques +(c'est-à-dire à coefficients dans $k^{\alg}$) distincts, qui sont +rationnels (c'est-à-dire à coefficients dans $k$) si et seulement si +$\Delta$ est un carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a +exactement un point géométrique, et celui-ci est rationnel. + +\smallbreak + +\textbf{(3)} Si $u,v,w$ sont trois éléments de $k$ non tous nuls, de +sorte que $\{ux+vy+wz = 0\}$ définit une droite $D$ dans le plan +projectif $\mathbb{P}^2$ sur $k$ de coordonnées homogènes $(x:y:z)$, +expliquer pourquoi si $w\neq 0$ alors $(x:y:z) \mapsto (x:y)$ définit +un isomorphisme $D \to \mathbb{P}^1$ (c'est-à-dire un morphisme de +variétés algébriques dont la réciproque est encore un morphisme de +variétés algébriques). Donner de même des isomorphismes $D \to +\mathbb{P}^1$ dans les autres cas possibles. + +\medbreak + +On va maintenant s'intéresser à une équation de degré $2$ dans le +plan. + +Plus précisément, on appelle \emph{conique} plane sur $k$ une variété +algébrique projective (i.e., un fermé de Zariski) $C_q$ dans +$\mathbb{P}^2$ définie par une équation $q = 0$ où $q \in k[x,y,z]$ +est un polynôme homogène de degré $2$ (on dit aussi « forme +quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra + aussi librement faire l'hypothèse que $q$ n'est pas le carré d'un + polynôme $l$ de degré $1$ (= forme linéaire) ; en effet, s'il l'est, + la conique $\{q=0\}$ est simplement réduite à la droite $\{l=0\}$ + mais l'idéal $(q)$ n'est pas radical (il faut imaginer la conique + comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois +variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes +sur $\mathbb{P}^2$. À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est +une telle conique. En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q += a_x\, x^2 + a_y\, y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$ +avec $a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$. + +\smallbreak + +\textbf{(4)} On rappelle qu'un point $(x_0:y_0:z_0)$ de $C_q$ est dit +\emph{singulier} lorsque $\frac{\partial q}{\partial x}$, +$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ +s'annulent simultanément en $(x_0:y_0:z_0)$. Expliquer pourquoi un +point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e., +pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$, +$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en +$(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$). +Donner une condition sur les coefficients de leurs équations pour que +trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient concourantes. En déduire que +la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si ses +coefficients vérifient +\[ +4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0 +\] +et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier +rationnel (c'est-à-dire à coordonnées dans $k$) ou géométrique +(c'est-à-dire à coordonnées dans $k^{\alg}$). + +\smallbreak + +\textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la +structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$. +Expliquer pourquoi on peut supposer que ce point singulier est le +point $(0:0:1)$. Montrer que la conique est alors $\{a_x\, x^2 + +b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$. En utilisant le résultat de la +question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x a_y$, qu'on +supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), montrer que la +conique $C_q$ est la réunion de deux droites géométriques +(c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients dans $k^{\alg}$), +s'intersectant au point singulier, et que si $\Delta$ est un carré +dans $k$, ces droites sont, en fait, rationnelles (c'est-à-dire que +leurs équations sont à coefficients dans $k$). $\bullet$ Donner un +exemple aussi simple que possible, sur $\mathbb{R}$, de conique réelle +ayant un point singulier (disons $(0:0:1)$), d'une part dans la +situation où les deux droites dont elle est réunion sont réelles, et +d'autre part dans la situation où elles sont complexes. + +\smallbreak + +On supposera maintenant la conique $C_q$ \emph{lisse}, c'est-à-dire +vérifiant $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y +b_z \neq 0$ (cf. question (4)). + +On appellera \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$) +d'un point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non +nécessairement situé sur $C_q$) la droite $\{ux+vy+wz = 0\}$ dont les +coefficients $u,v,w$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial x}$, +$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ +respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$. + +\textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ? (Autrement +dit, pourquoi $u,v,w$ ne s'annulent-ils pas simultanément ? Et +pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées +homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?) Montrer que $P_0 := +(x_0:y_0:z_0)$ est sur $C_q$ si et seulement si il est situé sur sa +propre droite polaire. Montrer que, lorsque c'est le cas, la droite +polaire $D_0$ en question rencontre $C_q$ en l'unique point +(géométrique) $P_0$ ; on dit que c'est la \emph{tangente} à $C_q$ +en $P_0$. + +\textbf{(7)} Si $P_0$ et $P_1$ sont deux points de $\mathbb{P}^2$, +montrer que $P_1$ est sur la droite polaire de $P_0$ si et seulement +si $P_0$ est sur la droite polaire de $P_1$ (on pourra exprimer ce +fait de comme une équation symétrique entre les coordonnées homogènes +$(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles $(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$). + + +% +% +% +\end{document} |