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diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex index da108d6..1d76aa3 100644 --- a/controle-20220413.tex +++ b/controle-20220413.tex @@ -33,6 +33,7 @@ % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -152,4 +153,96 @@ de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm % % % + +\exercice + +Sur un corps $k$ quelconque, considérons l'application $\varphi$ +définie sur une partie de $\mathbb{P}^2$ et à valeurs dans +$\mathbb{P}^2$ qui envoie le point de coordonnées homogènes $(X:Y:Z)$ +sur $(YZ:XZ:XY)$ si défini. + +(1) Quel est l'ouvert de Zariski $U$ de définition de $\varphi$ ? +Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois points de +$\mathbb{P}^2$ dont on précisera les coordonnées. + +(2) Quel est l'ouvert de Zariski $V$ des points (de $U$) dont l'image +par $\varphi$ appartient à $U$ ? Exprimer celui-ci comme le +complémentaire de trois droites de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera +les équations. + +(3) Que vaut $\varphi\circ\varphi$ sur $V$ ? + + +% +% +% + +%% \exercice + +%% On définit deux suites de polynômes $(T_n)$ et $(U_n)$ +%% dans $\mathbb{Z}[x]$ (polynômes de Čebyšëv de première et seconde +%% espèce) par les formules de récurrence suivantes : +%% \[ +%% \left\{\begin{aligned} +%% T_0(x) &= 1\\ +%% T_1(x) &= x\\ +%% T_{n+1}(x) &= 2x\, T_n(x) - T_{n-1}(x)\\ +%% \end{aligned}\right. +%% \;\;\;\hbox{~et~}\;\;\; +%% \left\{\begin{aligned} +%% U_{-1}(x) &= 0\\ +%% U_0(x) &= 1\\ +%% U_{n+1}(x) &= 2x\, U_n(x) - U_{n-1}(x)\\ +%% \end{aligned}\right. +%% \] + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $0$ et qu'on supposera +algébriquement clos pour simplifier. Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in +k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5) +\in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines. On +appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant +un point à l'infini noté $\infty$ à la variété algébrique affine $C$ +d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$. + +On admettra sans justification les faits suivants : +\begin{itemize} +\item Que son corps des fonctions $K := k(C^+)$ peut se voir comme le + quotient $k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ de l'anneau $k(x)[y]$ des polynômes + en l'indéterminée $y$ sur le corps $k(x)$ des fractions rationnelles + en une indéterminée $x$ sur $k$ par le polynôme $y^2 - p(x)$ + définissant $C$, c'est-à-dire, concrètement : +\item que tout élément de $K$ peut s'écrire de façon unique $g_0 + + g_1\,y$ où $g_0,g_1 \in k(x)$ sont deux fractions rationnelles + en $x$, l'addition se calculant en ajoutant terme à terme, et la + multiplication en développant le produit et en remplaçant $y^2$ par + $p(x)$. +\end{itemize} + +On rappelle par ailleurs qu'on appelle \emph{valuation discrète} sur +$K$ au-dessus de $k$ une fonction $v\colon K\to +\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : +\textbf{(o)} $v(f) = \infty$ si et seulement si $f=0$,\quad +\textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec +automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad +\textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c) += 0$ si $c\in k$,\quad et enfin \textbf{(n)} il existe $f\in K$ telle +que $v(f) = 1$. De plus, on rappelle que pour chaque point $P$ +de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$ +vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière +en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$) ; et +réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est +de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$). + + + +% +% +% \end{document} |