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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
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{\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
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\begin{document}
\ifcorrige
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\else
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
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\author{}
\date{14 avril 2021}
\maketitle
\pretolerance=8000
\tolerance=50000
\vskip1truein\relax
\noindent\textbf{Consignes.}
Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités
dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
très visible dans les copies où commence chaque exercice.
La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé est long parce
que des rappels ont été faits et que la rédaction des questions
cherche à éviter toute ambiguïté. Les réponses attendues sont
généralement beaucoup plus courtes que les questions elles-mêmes.
La difficulté des questions étant varié, il vaut mieux ne pas rester
bloqué trop longtemps.
Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut
valoir une partie des points.
\medbreak
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
L'usage des appareils électroniques est interdit.
\medbreak
Durée : 2h
\ifcorrige
Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse).
\else
Cet énoncé comporte 4 pages (page de garde incluse).
\fi
\vfill
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Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}
\pagebreak
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\exercice
Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$. Soit $C$ le fermé de
Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi,
pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle
euclidien de rayon $\sqrt{2}$).
(1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire
l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme
d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de
coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$).
(2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en
considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$,
construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut
admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas
défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant
$t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la
droite $D_t$.
(3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en
prolongeant le morphisme de la question précédente.
(4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$
de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm
1, \pm 1)$.
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\end{document}
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