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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 7ca54f8..097d1f5 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5094,7 +5094,9 @@ propriétés suivantes sont équivalentes : fini, la première condition est équivalente à la seconde affirmée pour toutes les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.) \end{prop} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorèmes 26.1 et 26.2]{Matsumura1989} +\end{proof} \thingy\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions} Lorsque ces deux conditions équivalentes sont satisfaites, on dit que @@ -5175,7 +5177,10 @@ $dt_1,\ldots,dt_n$. Réciproquement, si $t_1,\ldots,t_n \in K$ sont tels que $dt_1,\ldots,dt_n$ soient linéairement indépendants sur $K$, alors ils sont une base de transcendance séparante. \end{prop} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorèmes 26.6 et 26.8]{Matsumura1989}, +\cite[lemme 2.8.3]{FriedJarden2008} +\end{proof} \thingy En particulier, si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable @@ -5239,7 +5244,9 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \mathbb{Z}$, et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in \Omega^1_{R/k}$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)). \end{prop} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorème II.8.8 et lemme II.8.9]{Hartshorne1977} +\end{proof} \begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable @@ -5287,7 +5294,10 @@ précédente) ; en particulier, $dt$ est une base du $K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une base de transcendance séparante de $K$ sur $k$). \end{prop} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[théorème 2.5.7]{Goldschmidt2003}, +\cite[propositions II.1.4 et II.4.3]{Silverman1986} +\end{proof} \begin{cor}\label{order-of-differential-wrt-uniformizer} Dans les conditions de la @@ -5340,17 +5350,10 @@ Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ non nulle. Alors l'ensemble des places $P$ de $K$ telles que $\ord_P(\omega) \neq 0$ est fini. \end{prop} -%% \begin{proof} -%% Soit $t \in K$ tel que $dt$ soit une base de $\Omega^1_{K/k}$ (par -%% exemple une uniformisante en une place quelconque). Alors on peut -%% écrire $\omega = g\,dt$ pour une certaine $g \in K$, et comme -%% l'ensemble des places où $\ord_P(\omega)$ est non nul est inclus dans -%% la réunion de celui des places où $\ord_P(g)$ est non nul (qui est -%% fini d'après \ref{valuation-of-function-is-almost-everywhere-zero}) et -%% de celui des places où $\ord_P(dt)$ est non nul, il suffit de montrer -%% la finitude du second. -%% \end{proof} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[lemme 2.5.1]{Goldschmidt2003}, +\cite[proposition II.4.3(e)]{Silverman1986} +\end{proof} \begin{defn} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable @@ -5417,7 +5420,12 @@ notant $W$ un diviseur canonique : \ell(D) - \ell(W-D) = \deg D + 1 - g \] \end{thm} -\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{proof}[Références] +\cite[corollaire 2.5.11]{Goldschmidt2003}, +\cite[théorème II.5.4]{Silverman1986}, +\cite[théorème IV.1.3]{Hartshorne1977}, +\cite[théorème 3.2.1]{FriedJarden2008} +\end{proof} \begin{cor}\label{degree-of-canonical-divisor} \begin{itemize} @@ -5478,6 +5486,36 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. +% +% +% + +\begin{thebibliography}{xxx} + +\bibitem[Fried \& Jarden 2008]{FriedJarden2008} Michael D. Fried \& + Moshe Jarden, \textit{Field Arithmetic}, Springer (3rd edition + 2008), ISBN 978-3-540-77269-9. + +\bibitem[Goldschmidt 2003]{Goldschmidt2003} David M. Goldschmidt, + \textit{Algebraic Functions and Projective Curves}, Springer (2003) + Graduate Texts in Mathematics \textbf{215}, ISBN 978-1-4419-2995-2. + +\bibitem[Hartshorne 1977]{Hartshorne1977} Robin Hartshorne, + \textit{Algebraic Geometry}, Springer (1977) Graduate Texts in + Mathematics \textbf{52}, ISBN 978-1-4419-2807-8. + +\bibitem[Matsumura 1989]{Matsumura1989} Hideyuki Matsumura, + \textit{Commutative Ring Theory}, Cambridge University Press + (paperback edition 1989), ISBN 978-0-521-36764-6. + +\bibitem[Silverman 1986]{Silverman1986} Joseph H. Silverman, + \textit{The Arithmetic of Elliptic Curves}, Springer (1986) Graduate + Texts in Mathematics \textbf{106}, ISBN 978-1-4757-1922-2. + +\end{thebibliography} + + + % % |