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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index b5856d8..4e57b75 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -166,8 +166,8 @@ aucun de ceux-ci \begin{question} Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel -$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) reliant les -points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ? +$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$) +reliant les points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ? \rightanswer $x - 2y + z = 0$ @@ -183,8 +183,8 @@ $x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ \begin{question} Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel -$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le -corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et +$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$) +sur le corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et $(2{:}2{:}1)$ ? \rightanswer @@ -205,6 +205,29 @@ $x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ % % +\begin{question} + +Quelle est l'équation du plan de l'espace projectif réel +$\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (de coordonnées +homogènes $(t{:}x{:}y{:}z)$) passant par $(1{:}1{:}0{:}0)$, +$(1{:}0{:}1{:}0)$ et $(1{:}0{:}0{:}1)$ ? + +\rightanswer +$t-x-y-z = 0$ + +\answer +$t=1$ + +\answer +$t=1$ et $x+y+z=1$ + +\end{question} + + +% +% +% + \begin{qvar} \begin{question} @@ -286,8 +309,8 @@ $8$ Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan -projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) -sur le corps à $5$ éléments ? +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées +homogènes $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $6$ @@ -307,8 +330,8 @@ $7$ Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan -affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x,y)$) sur le -corps à $5$ éléments ? +affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées homogènes $(x,y)$) +sur le corps à $5$ éléments ? \rightanswer $4$ @@ -393,6 +416,49 @@ $\infty$ % % +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de +coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T+X+Y+Z = 0$ +et $T-X-Y+Z = 0$ définissent... + +\rightanswer +une droite + +\answer +un plan + +\answer +un point + +\end{question} + +\begin{question} + +Dans l'espace projectif $\mathbb{P}^3$ (disons, sur $\mathbb{R}$) de +coordonnées homogènes $(T{:}X{:}Y{:}Z)$, les équations $T-X-Y+Z = +T-X+Y-Z = T+X-Y-Z = 0$ définissent... + +\rightanswer +le point $(1{:}1{:}1{:}1)$ + +\answer +une droite + +\answer +l'ensemble vide + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + \begin{question} Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) @@ -475,6 +541,34 @@ complexes \begin{question} +Soit $\mathbb{F}_2$ le corps fini à deux éléments et +$\mathbb{F}_2^{\alg}$ sa clôture algébrique ($\bigcup_{n=1}^{+\infty} +\mathbb{F}_{2^n}$), et considérons le fermé de Zariski $F := \{x^4 y + +x y^4 = 0\}$ dans la droite projective $\mathbb{P}^1$ (de coordonnées +homogènes $(x{:}y)$) sur $\mathbb{F}_2$. Qu'est-ce qui décrit le +mieux les points de $F$ ? + +\rightanswer +$F$ a trois points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”) et deux +autres points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”) qui ne +sont pas définis sur $\mathbb{F}_2$ + +\answer +$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2$ (“points rationnels”) + +\answer +$F$ a cinq points sur $\mathbb{F}_2^{\alg}$ (“points géométriques”) +dont aucun n'est défini sur $\mathbb{F}_2$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{R}[x,y]$ formé des polynômes réels en deux variables s'annulant en les trois points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$ @@ -502,7 +596,7 @@ $x(x-1)y(y-1)$ Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de -coordonnées homogènes $(x,y,z)$ (autrement dit, $I = +coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ (autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer @@ -579,6 +673,68 @@ $(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$ \end{qvar} +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{F}_5[t]$ formé des polynômes +sur le corps fini à cinq éléments en la variable $t$ qui s'annulent en +chacun des cinq points $0,1,2,3,4$ de $\mathbb{A}^1$ (autrement dit, +$I = \mathfrak{I}(\{0,1,2,3,4\})$). Cet idéal est engendré par... + +\rightanswer +$t^5 - t$ + +\answer +$0$ (c'est l'idéal nul) + +\answer +$t$, $t-1$, $t-2$, $t-3$ et $t-4$ + +\answer +$t^5 - 1$ + +\answer +$t^4 - 1$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{F}_5[x,y,z]$ des +polynômes en trois variables (sur le corps à cinq éléments) engendré +par les polynômes homogènes s'annulant en chaque $\mathbb{F}_5$-point +(= “point rationnel” ; c'est-à-dire s'annulant en chaque point dont +les coordonnées homogènes sont toutes dans $\mathbb{F}_5$) du plan +projectif $\mathbb{P}^2$ de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ ; +autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5))$). Cet +idéal $I$ est engendré par... + +\rightanswer +$x^5 y - y^5 x$, $y^5 z - z^5 y$ et $z^5 x - x^5 z$ + +\answer +$0$ (c'est l'idéal nul) + +\answer +$1$ (c'est l'idéal unité) + +\answer +$x$, $y$ et $z$ + +\answer +$x^5 - x$, $y^5 - y$ et $z^5 - z$ + +\end{question} + + \end{qcm} % % |