path: root/controle-2020qcm.tex

%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
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%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
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\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
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\usetikzlibrary{matrix,calc}
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%
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%
\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax}
\newenvironment{qvar}{\relax}{\relax}
\newcounter{quescnt}
\newenvironment{question}%
{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak}
{\relax}
\newcounter{answcnt}[quescnt]
\newcommand\answer{%
\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~}
\let\rightanswer=\answer
%
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
%
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\corrigefalse
\def\seedval{test}
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\else
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\fi
\author{}
\date{18 juin 2020}
\maketitle

\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix
multiples).  Chaque question admet une unique réponse correcte.  Les
questions sont totalement indépendantes les unes des autres.  La
sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et
n'obéissent donc à aucune logique particulière.

La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question
suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour
signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse
proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la
question 4 est (D).

Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée
qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre
à une question que de répondre aléatoirement.

\medbreak

Durée : 1h de 10h30 à 11h30

\vfill

\noindent
Sujet généré pour : \texttt{\seedval}

\medskip

{\tiny\noindent
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
Git: \input{vcline.tex}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pagebreak

\begin{qcm}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$(0{:}3{:}1)$

\answer
$(1{:}2{:}3)$

\answer
$(1{:}2{:}4)$

\answer
$(0{:}2{:}3)$

\answer
aucun de ceux-ci

\end{question}

\begin{question}

Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ?

\rightanswer
$(0{:}2{:}1)$

\answer
$(1{:}2{:}0)$

\answer
$(1{:}2{:}1)$

\answer
$(0{:}2{:}2)$

\answer
aucun de ceux-ci

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) reliant les
points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ?

\rightanswer
$x - 2y + z = 0$

\answer
$y - 2 = 0$

\answer
$x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$

\end{question}

\begin{question}

Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel
$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) sur le
corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et
$(2{:}2{:}1)$ ?

\rightanswer
$x + y + z = 0$

\answer
$y - 2 = 0$

\answer
$x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$31$

\answer
$26$

\answer
$40$

\answer
$25$

\answer
$24$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_4$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_4)$ sur le corps à $4$ éléments ?

\rightanswer
$21$

\answer
$17$

\answer
$24$

\answer
$16$

\answer
$15$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_3$) du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ?

\rightanswer
$13$

\answer
$10$

\answer
$12$

\answer
$9$

\answer
$8$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$)
sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$6$

\answer
$5$

\answer
$4$

\answer
$7$

\end{question}

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan
affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x,y)$) sur le
corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$4$

\answer
$5$

\answer
$6$

\answer
$7$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{R})$ la transformation projective
(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
$\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ (vue comme $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$),
qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.  Quel est le
point s'envoyant sur $4$ ?

\rightanswer
$4/3$

\answer
$4$

\answer
$0$

\answer
$1/2$

\answer
$\infty$

\end{question}

\begin{question}

Soit $f \in \mathit{PGL}_2(\mathbb{F}_5)$ la transformation projective
(= homographie, = projectivité) de la droite projective réelle
$\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_5)$ (vue comme $\mathbb{F}_5 \cup
\{\infty\}$), qui envoie $\infty, 0, 1$ sur $1, 2, 3$ respectivement.
Quel est le point s'envoyant sur $4$ ?

\rightanswer
$3$

\answer
$4$

\answer
$0$

\answer
$2$

\answer
$1$

\answer
$\infty$

\end{question}

\end{qvar}


%
%
%

\begin{question}

Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”)
du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x + y = 0\}$ du plan
projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$)
sur le corps à $5$ éléments ?

\rightanswer
$6$

\answer
$5$

\answer
$4$

\answer
$7$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons deux droites distinctes du plan euclidien que la géométrie
euclidienne qualifie de “parallèles” : quelle est la description la
plus correcte de la situation de ces droites (en géométrie
algébrique) ?

\rightanswer
elles se rencontrent en un point réel du plan projectif, mais ce point
est “à l'infini”, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans le plan affine
réel

\answer
elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les
complexes

\answer
elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux
points sont complexes conjugués et non réels

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons un cercle $C$ du plan euclidien et une droite $D$ qui, du
point de vue de la géométrie euclidienne, ne rencontre pas $C$ :
quelle est la description la plus correcte de la situation de
$C$ et $D$ (en géométrie algébrique) ?

\rightanswer
elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux
points sont complexes conjugués et non réels

\answer
elles se rencontrent en deux points réels du plan projectif, mais ces
points sont “à l'infini”, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas dans le plan
affine réel

\answer
elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les
complexes

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{R}[x,y]$ formé des polynômes
réels en deux variables s'annulant en les trois points $(0,0)$,
$(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$
(autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0,0), \penalty0 (1,0), \penalty0
(0,1)\})$).  Cet idéal $I$ est engendré par...

\rightanswer
$x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$

\answer
$x$, $x-1$, $y$ et $y-1$

\answer
$x(x-1)y(y-1)$

\end{question}


%
%
%

\begin{question}

Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des
polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes
homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de
coordonnées homogènes $(x,y,z)$ (autrement dit, $I =
\mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$).  Cet idéal $I$ est engendré par...

\rightanswer
$x$ et $y$

\answer
$x$, $y$ et $z-1$

\answer
$x$, $y$ et $z$

\answer
$xy$ et $z$

\answer
$xy$ et $z^2$

\end{question}


%
%
%

\begin{qvar}

\begin{question}

Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quelle est l'équation de
l'adhérence de $C$ dans le plan projectif $\mathbb{P}^2$ (i.e., de la
projectivisée de $C$), en appelant $(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées
homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?

\rightanswer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 T + Y^2 T - T^3 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - 1 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 + X^2 + Y^2 - T^2 = 0$

\answer
$X^2 Y - X Y^2 = 0$

\end{question}

\begin{question}

Soit $C := \{(x,y) : x^2 y - x y^2 + x^2 + y^2 - 1 = 0\} \subseteq
\mathbb{A}^2$, fermé de Zariski du plan affine $\mathbb{A}^2$ (disons,
sur $\mathbb{R}$) de coordonnées $(x,y)$.  Quels sont les points à
l'infini de $C$ ; ou, plus exactement, quels sont les points sur la
droite “à l'infini” $T=0$ de l'adhérence de $C$ dans le plan projectif
$\mathbb{P}^2$ (i.e., de la projectivisée de $C$), en appelant
$(T{:}X{:}Y{:})$ les coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$ ?

\rightanswer
$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}1{:}1)$

\answer
$(0{:}0{:}0)$

\answer
$(0{:}1{:}0)$, $(0{:}-1{:}0)$, $(0{:}0{:}1)$ et $(0{:}0{:}-1)$

\end{question}

\end{qvar}


\end{qcm}
%
%
%
\end{document}