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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index b421609..db4811b 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3056,7 +3056,8 @@ qu'on appellera plus bas les courbes « géométriquement intègres »). On sera éventuellement amené à restreindre la définition qui vient d'être donnée. -\thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des +\thingy\label{function-field-of-the-line} +La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension \emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on l'appelle \defin{droite projective} (ou simplement « droite ») @@ -3474,6 +3475,13 @@ non-singulières). \subsection{Valuations et places}\label{subsection-places-of-function-fields} +Pour comprendre cette section et surtout +la \ref{subsection-places-of-curves} qui va suivre, on gardera +l'exemple \ref{function-field-of-the-line} en tête (les $v_h$ ou +$v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de +$k(t)$ au-dessus de $k$ comme on va les définir ci-dessous, on verra +même que ce sont les seules non-triviales). + \begin{defn}\label{definition-valuation-ring} Soit $K$ un corps. On appelle \index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$ @@ -3488,7 +3496,8 @@ Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de valuation \emph{non-trivial}. \end{defn} -\thingy Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre +\thingy\label{valuation-from-valuation-ring} +Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre (puisque c'est un sous-anneau d'un corps), et il est clair que $K$ est le corps des fractions de $R$ (cf. \ref{definition-fraction-field} ; tout élément de $K$ est quotient d'éléments de $R$ puisqu'il est même @@ -3592,7 +3601,7 @@ et $\infty$. Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive sur $k$, ce qui revient au même). -\begin{prop} +\begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings} Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal maximal, à savoir le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ @@ -3621,7 +3630,7 @@ idéal maximal de ce dernier. On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal, et enfin $\varkappa_v$ pour son corps résiduel $\mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$. -On remarquera que si la place $v$ est au-dessus de $k$, alors +On remarquera que si la valuation $v$ est au-dessus de $k$, alors $\varkappa_v$ est une extension de $k$. Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de @@ -3629,7 +3638,65 @@ fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place) de $K$. (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de -transcendance $1$.) +transcendance $1$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut +être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places +de $K$ + +\begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal} +Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation discrète, dont on note +$\mathfrak{m}$ l'idéal maximal +(cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation. +Alors : +\begin{itemize} +\item[(i)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en + tant qu'idéal si et seulement si $v(t) = 1$ (où $1$ désigne le plus + petit élément strictement positif du groupe des valeurs, qui + identifie ce dernier à $\mathbb{Z}$), et en fixant $t$ un élément + comme on vient de dire (et il en existe), +\item[(ii)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la + forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in + \mathbb{Z}$, auquel cas on a $r = v(x)$, +\item[(iii)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal + $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en + particulier, $\mathcal{O}$ est principal). +\end{itemize} + +Un élément $t$ tel que $v(t) = 1$ s'appelle une \defin{uniformisante} +de l'anneau de valuation discrète $\mathcal{O}$. +\end{prop} +\begin{proof} +Montrons le (i). Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement +$v(t) = 1$ car pour tout $x$ tel que $v(x) > 0$, on peut écrire $x = t +z$ pour un certain $z \in \mathcal{O}$ (puisque $x \in \mathfrak{m}$ +et que $t$ engerndre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien +de la valuation strictement positive la plus petite possible. +Réciproquement, si $v(t) = 1$ (la valuation strictement positive la +plus petite possible), et si $x \in \mathfrak{m}$, alors $v(x) \geq +v(t)$ par la minimalité supposée de $v(t)$, c'est-à-dire $x/t \in +\mathcal{O}$, ce qui prouve bien $x \in t\mathcal{O}$. + +L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de +la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs). + +Montrons maintenant le (ii). Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de +valuation nulle, donc il est dans $\mathcal{O}$ et son inverse +dans $K$ est aussi dans $\mathcal{O}$, c'est-à-dire que $u$ est +dans $\mathcal{O}^\times$. Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) += v(u) + r v(t) = r$ puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$. + +Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les +éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de +valuation $\geq r$. + +Montrons enfin le (iii). Si $x \in I$ a la plus petite valuation +possible pour un élément de $I$, disons $x = u t^r$ comme on vient de +voir, et alors $t^r \in I$ donc $I$ contient l'idéal engendré par +$t^r$, qui d'après le paragraphe précédent est $\{x\in\mathcal{O} : +v(x)\geq r\}$ ; mais réciproquement, tout élément de $I$ a une +valuation supérieure ou égale à $v(x) = r$ par minimalité supposée +de $x$, donc il y a bien égalité entre $I$ et l'idéal +$\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$. +\end{proof} \subsection{Places des courbes}\label{subsection-places-of-curves} @@ -3712,6 +3779,11 @@ $K$ au-dessus de $k$ (=places de $K$) sont \index{discrète petit élément strictement positif dans le groupe des valeurs et que tous les éléments en sont des multiples entiers, si bien que le groupe des valeurs peut s'identifier à $\mathbb{Z}$ pour son ordre usuel. + +Notamment, tous les anneaux de valuation non-triviaux de $K$ au-dessus +de $k$ vérifient les propriétés annoncées +en \ref{discrete-valuation-rings-are-principal} (par exemple, ce sont +des anneaux \emph{principaux}). \end{prop} \begin{proof} Soit $v \colon K \to \Gamma\cup\{\infty\}$ une valuation non-triviale @@ -3739,6 +3811,41 @@ implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ : on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer. \end{proof} +\thingy La propriété (C) du +lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que, pour toute +place $v$ d'un corps de fonctions $K$ de courbe sur $k$, le corps +résiduel $\kappa_v$ est une extension finie, donc algébrique, de $k$. +Le degré $[\kappa_v : k]$ s'appelle aussi \defin[degré (d'une + place)]{degré} de la place $v$. S'il vaut $1$, c'est-à-dire si +$\kappa_v = k$, la place $v$ est dite \defin[rationnelle + (place)]{rationnelle}. C'est notamment le cas si $k$ est +\emph{algébriquement clos}. + +\thingy Toujours pour $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, si +$f\in K$ et si $v \in \mathscr{V}_K$ (i.e., $v$ est une place de $K$), +on peut définir $f(v) \in \varkappa_v$ comme valant : +\begin{itemize} +\item la classe de $f \in \mathcal{O}_v$ modulo $\mathfrak{m}_v$, + lorsque $v(f) \geq 0$, +\item le symbole spécial\footnote{Le symbole $\infty$ introduit ici + (pour désigner un pôle d'une fonction) est différent de celui + introduit en \ref{valuation-from-valuation-ring} pour la valuation + de $0$ : on pourrait noter ce dernier $+\infty$ ou $\infty_\Gamma$ + pour éviter la confusion, mais en pratique il y a peu de chances de + se tromper.} $\infty$ lorsque $v(f) < 0$ (on peut dire que $f$ a un + \defin[pôle (d'une fonction)]{pôle} en $v$). +\end{itemize} +Ceci permet de voir un élément de $K$ comme une fonction sur +$\mathscr{V}_K$ (mais comme elle prend des valeurs dans des ensembles +$\kappa_v$ différents, ce n'est pas très agréable, sauf si $k$ est +algébriquement clos auquel cas on a bien affaire à une fonction +$\mathscr{V}_K \to k\cup\{\infty\}$). + +On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une + fonction)]{zéro} en la place $v$ lorsque $v(f) > 0$, c'est-à-dire +que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal +$\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$). + |