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diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex new file mode 100644 index 0000000..99f8639 --- /dev/null +++ b/controle-20180411.tex @@ -0,0 +1,253 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\norm}{\operatorname{N}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{11 avril 2018} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Ce contrôle est formé d'un unique exercice. Les questions dépendent +les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que +le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute +la suite. + +Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est +conseillé de le lire attentivement. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +Dans tout ce qui suit, $k$ désignera un corps de caractéristique +différente de $2$ et $3$. + +On s'intéresse à la courbe $C$ d'équation $y^2 = x^3 - x$ dans le plan +affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$. + +\medskip + +(1) Dans le cas où $k$ est le corps $\mathbb{R}$ des réels, tracer +l'allure de l'ensemble $C(\mathbb{R})$ des points réels de la courbe, +c'est-à-dire, de l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $y^2 += x^3 - x$. On précisera ses intersections avec l'axe $y=0$. + +\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} + +\medskip + +On identifie le plan affine $\mathbb{A}^2$ à l'ensemble $D_T := +\{(T:X:Y) : T\neq 0\}$ des points $(T:X:Y)$ du plan projectif +$\mathbb{P}^2$ tels que $T\neq 0$ de la façon habituelle, c'est-à-dire +qu'on identifie $(T:X:Y)$ dans $D_T$ à $(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$ +dans $\mathbb{A}^2$. + +(2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus +exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$, +dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) à l'infini +de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$. + +(2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont +aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») : +quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de +$\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C = +\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? Sur le corps des réels, +représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines. + +\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} + +\medskip + +On rappelle qu'un point $(x_0,y_0)$ d'une courbe plane $\{f(x,y) = +0\}$ (où $f\in k[x,y]$ est un polynôme en deux indéterminées $x,y$) +est dit \emph{lisse} ou \emph{régulier} lorsque $\frac{\partial + f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ne s'y annulent +pas simultanément. + +(3a) Si $f := y^2 - x^3 + x$, montrer que l'idéal de $k[x,y]$ engendré +par $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial + f}{\partial y}$ est l'idéal unité (c'est-à-dire $k[x,y]$ tout +entier). + +(3b) En déduire, ou bien montrer directement si l'on préfère, que la +courbe $C$ est lisse, c'est-à-dire que tous ses points sont lisses (y +compris les points sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$). + +(3c) Vérifier que le ou les point(s) à l'infini trouvés en (2a) sont +eux aussi lisses (on pourra utiliser une des équations trouvées +en (2b)). + +\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} + +\medskip + +Considérons maintenant le polynôme $h := y^2 - (x^3 - x) \in k(x)[y]$ +en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des +fractions rationnelles en une indéterminée $x$. + +(4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un +polynôme (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$ +n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h += y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en +l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K := +k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un +\emph{corps}. + +\leavevmode\hphantom{(4) }(e) Expliquer pourquoi tout élément de $K := +k(x)[y]/(h)$ possède une représentation unique sous la forme $g_0 + +g_1 y$ où $g_0$ et $g_1$ sont des fractions rationnelles en +l'indéterminée $x$ (et où on a noté abusivement $y$ pour la classe +de $y$ modulo $h$). Expliquer comment on calcule les sommes et les +produits dans $K$ sur cette écriture.\quad (f) Expliquer comment la +connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh = 1 \in k(x)[y]$ permet +de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 + g_1 y$ de $K$.\quad +(g) À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$ dans $K$ (on pourra +observer ce que vaut $y^2$ dans $K$). + +\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}} + +\medskip + +On appelle toujours $K := k(x)[y]/(y^2 - x^3 + x)$ (le corps des +fonctions rationnelles sur $\overline{C}$). + +On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe +$\overline{C}$ (qui soit lisse, mais on a vu en (3) que c'était bien +le cas), il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to +\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : +(o) $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad (k) $\ord_P(c) += 0$ si $c\in k$,\quad (i) $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) + +\ord_P(g_2)$,\quad (ii) $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1), +\ord_P(g_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1) +\neq \ord_P(g_2)$),\quad (n) $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin +\quad (r) $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec +automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$). + +On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_P$ lorsque $P$ est +le point $(0,0)$ de la courbe. + +(5) (a) Vérifier que la restriction de $\ord_P$ à $k(x)$ (vu comme un +sous-corps de $K$) vérifie encore les propriétés (o), (k), (i) et (ii) +listées ci-dessus.\quad (b) En déduire que $\ord_P(g) = e\cdot v(g)$ +pour tout $g\in k(x)$, où $v(g)$ désigne la valuation usuelle en $0$ +d'une fraction rationnelle\footnote{C'est-à-dire l'ordre de son zéro + en $0$, ou, si on préfère, l'exposant de la plus grande puissance de + $x$ qui divise son numérateur moins l'exposant de la plus grande + puissance de $x$ qui divise son dénominateur.} et où $e\geq 1$ est +un entier qui reste encore à déterminer. + +\leavevmode\hphantom{(5) }(c) Calculer $\ord_P(y^2)$ et en déduire +$\ord_P(y)$ (en faisant intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire +$\ord_P(g_0 + g_1 y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant +intervenir le noombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la +propriété (n) (de normalisation de $\ord_P$), en déduire la valeur +de $e$ et finalement la valeur de $\ord_P(g_0 + g_1 y)$. + + + + +% +% +% +\end{document} |