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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-04-08 18:43:59 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2018-04-08 18:43:59 (GMT)
commit964cfa40d235c9a4ffb0b848a4627177cd85ba46 (patch)
tree293571ed3fda678427f191f89df57f2e3bfde82b
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Start writing an exam for 2018-04-11.
-rw-r--r--controle-20180411.tex253
1 files changed, 253 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20180411.tex b/controle-20180411.tex
new file mode 100644
index 0000000..99f8639
--- /dev/null
+++ b/controle-20180411.tex
@@ -0,0 +1,253 @@
+%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
+\documentclass[12pt,a4paper]{article}
+\usepackage[francais]{babel}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+%\usepackage{ucs}
+\usepackage{times}
+% A tribute to the worthy AMS:
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+%
+\usepackage{mathrsfs}
+\usepackage{wasysym}
+\usepackage{url}
+%
+\usepackage{graphics}
+\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
+\usepackage{tikz}
+\usetikzlibrary{matrix,calc}
+\usepackage{hyperref}
+%
+%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf]
+%
+\theoremstyle{definition}
+\newtheorem{comcnt}{Tout}
+\newcommand\thingy{%
+\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
+\newcommand\exercice{%
+\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
+\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
+%
+\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
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+%
+\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
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+\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
+\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
+%
+\DeclareFontFamily{U}{manual}{}
+\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{}
+\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
+ {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
+\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
+\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
+ \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
+%
+\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
+\newif\ifcorrige
+\corrigetrue
+\newenvironment{corrige}%
+{\ifcorrige\par\smallbreak\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
+\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
+{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
+\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
+%
+%
+%
+\begin{document}
+\ifcorrige
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\else
+\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
+\fi
+\author{}
+\date{11 avril 2018}
+\maketitle
+
+\pretolerance=8000
+\tolerance=50000
+
+\vskip1truein\relax
+
+\noindent\textbf{Consignes.}
+
+Ce contrôle est formé d'un unique exercice. Les questions dépendent
+les unes des autres, mais elles ont été formulées de manière à ce que
+le fait de ne pas savoir répondre à une question ne bloque pas toute
+la suite.
+
+Des notations étant introduites au fur et à mesure de l'énoncé, il est
+conseillé de le lire attentivement.
+
+\medbreak
+
+L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
+imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.
+
+L'usage des appareils électroniques est interdit.
+
+\medbreak
+
+Durée : 2h
+
+\vfill
+{\noindent\tiny
+\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
+Git: \input{vcline.tex}
+\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
+\par}
+
+\pagebreak
+
+
+%
+%
+%
+
+Dans tout ce qui suit, $k$ désignera un corps de caractéristique
+différente de $2$ et $3$.
+
+On s'intéresse à la courbe $C$ d'équation $y^2 = x^3 - x$ dans le plan
+affine $\mathbb{A}^2$ de coordonnées $(x,y)$.
+
+\medskip
+
+(1) Dans le cas où $k$ est le corps $\mathbb{R}$ des réels, tracer
+l'allure de l'ensemble $C(\mathbb{R})$ des points réels de la courbe,
+c'est-à-dire, de l'ensemble des $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ tels que $y^2
+= x^3 - x$. On précisera ses intersections avec l'axe $y=0$.
+
+\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}
+
+\medskip
+
+On identifie le plan affine $\mathbb{A}^2$ à l'ensemble $D_T :=
+\{(T:X:Y) : T\neq 0\}$ des points $(T:X:Y)$ du plan projectif
+$\mathbb{P}^2$ tels que $T\neq 0$ de la façon habituelle, c'est-à-dire
+qu'on identifie $(T:X:Y)$ dans $D_T$ à $(\frac{X}{T}, \frac{Y}{T})$
+dans $\mathbb{A}^2$.
+
+(2a) Quelle est l'équation (homogène) de la courbe $C$, ou plus
+exactement de son adhérence de Zariski $\overline{C}$,
+dans $\mathbb{P}^2$ ? Identifier le ou les point(s) à l'infini
+de $\overline{C}$, c'est-à-dire son ou ses point(s) vérifiant $T=0$.
+
+(2b) Les ensembles $D_X := \{X\neq 0\}$ et $D_Y := \{Y\neq 0\}$ sont
+aussi identifiables à des plans affines (ou « cartes affines ») :
+quelles sont les équations affines de $\overline{C} \cap D_X$ et de
+$\overline{C} \cap D_Y$ (de la même manière que l'équation de $C =
+\overline{C} \cap D_T$ est $y^2 = x^3 - x$) ? Sur le corps des réels,
+représenter l'allure de la courbe dans chacune de ces cartes affines.
+
+\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}
+
+\medskip
+
+On rappelle qu'un point $(x_0,y_0)$ d'une courbe plane $\{f(x,y) =
+0\}$ (où $f\in k[x,y]$ est un polynôme en deux indéterminées $x,y$)
+est dit \emph{lisse} ou \emph{régulier} lorsque $\frac{\partial
+ f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$ ne s'y annulent
+pas simultanément.
+
+(3a) Si $f := y^2 - x^3 + x$, montrer que l'idéal de $k[x,y]$ engendré
+par $f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial
+ f}{\partial y}$ est l'idéal unité (c'est-à-dire $k[x,y]$ tout
+entier).
+
+(3b) En déduire, ou bien montrer directement si l'on préfère, que la
+courbe $C$ est lisse, c'est-à-dire que tous ses points sont lisses (y
+compris les points sur la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$).
+
+(3c) Vérifier que le ou les point(s) à l'infini trouvés en (2a) sont
+eux aussi lisses (on pourra utiliser une des équations trouvées
+en (2b)).
+
+\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}
+
+\medskip
+
+Considérons maintenant le polynôme $h := y^2 - (x^3 - x) \in k(x)[y]$
+en l'indéterminée $y$ à coefficients dans le corps $k(x)$ des
+fractions rationnelles en une indéterminée $x$.
+
+(4) (a) Expliquer pourquoi $x^3 - x \in k(x)$ n'est pas le carré d'un
+polynôme (= élément de $k[x]$).\quad (b) En déduire que $x^3 - x$
+n'est pas le carré d'un élément de $k(x)$.\quad (c) En déduire que $h
+= y^2 - x^3 + x$ est irréductible en tant que polynôme sur $k(x)$ en
+l'indéterminée $y$.\quad (d) En déduire que l'anneau $K :=
+k(x)[y]/(h)$ quotient de $k(x)[y]$ par l'idéal engendré par $h$ est un
+\emph{corps}.
+
+\leavevmode\hphantom{(4) }(e) Expliquer pourquoi tout élément de $K :=
+k(x)[y]/(h)$ possède une représentation unique sous la forme $g_0 +
+g_1 y$ où $g_0$ et $g_1$ sont des fractions rationnelles en
+l'indéterminée $x$ (et où on a noté abusivement $y$ pour la classe
+de $y$ modulo $h$). Expliquer comment on calcule les sommes et les
+produits dans $K$ sur cette écriture.\quad (f) Expliquer comment la
+connaissance d'une relation de Bézout $ug + vh = 1 \in k(x)[y]$ permet
+de calculer l'inverse d'un élément $g = g_0 + g_1 y$ de $K$.\quad
+(g) À titre d'exemple, calculer l'inverse de $y$ dans $K$ (on pourra
+observer ce que vaut $y^2$ dans $K$).
+
+\centerline{\hbox to3truecm{\hrulefill}}
+
+\medskip
+
+On appelle toujours $K := k(x)[y]/(y^2 - x^3 + x)$ (le corps des
+fonctions rationnelles sur $\overline{C}$).
+
+On rappelle le fait suivant : pour chaque point $P$ de la courbe
+$\overline{C}$ (qui soit lisse, mais on a vu en (3) que c'était bien
+le cas), il existe une et une seule fonction $\ord_P\colon K\to
+\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
+(o) $\ord_P(g) = \infty$ si et seulement si $g=0$,\quad (k) $\ord_P(c)
+= 0$ si $c\in k$,\quad (i) $\ord_P(g_1 g_2) = \ord_P(g_1) +
+\ord_P(g_2)$,\quad (ii) $\ord_P(g_1 + g_2) \geq \min(\ord_P(g_1),
+\ord_P(g_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $\ord_P(g_1)
+\neq \ord_P(g_2)$),\quad (n) $1$ est atteint par $\ord_P$, et enfin
+\quad (r) $\ord_P(g) \geq 0$ si $g$ est définie en $P$ (avec
+automatiquement $\ord_P(g) > 0$ si $g$ s'annule en $P$).
+
+On va chercher à mieux comprendre la fonction $\ord_P$ lorsque $P$ est
+le point $(0,0)$ de la courbe.
+
+(5) (a) Vérifier que la restriction de $\ord_P$ à $k(x)$ (vu comme un
+sous-corps de $K$) vérifie encore les propriétés (o), (k), (i) et (ii)
+listées ci-dessus.\quad (b) En déduire que $\ord_P(g) = e\cdot v(g)$
+pour tout $g\in k(x)$, où $v(g)$ désigne la valuation usuelle en $0$
+d'une fraction rationnelle\footnote{C'est-à-dire l'ordre de son zéro
+ en $0$, ou, si on préfère, l'exposant de la plus grande puissance de
+ $x$ qui divise son numérateur moins l'exposant de la plus grande
+ puissance de $x$ qui divise son dénominateur.} et où $e\geq 1$ est
+un entier qui reste encore à déterminer.
+
+\leavevmode\hphantom{(5) }(c) Calculer $\ord_P(y^2)$ et en déduire
+$\ord_P(y)$ (en faisant intervenir le nombre $e$).\quad (d) En déduire
+$\ord_P(g_0 + g_1 y)$ pour $g_0,g_1\in k(x)$ (toujours en faisant
+intervenir le noombre $e$).\quad (e) En faisant intervenir la
+propriété (n) (de normalisation de $\ord_P$), en déduire la valeur
+de $e$ et finalement la valeur de $\ord_P(g_0 + g_1 y)$.
+
+
+
+
+%
+%
+%
+\end{document}