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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex new file mode 100644 index 0000000..9c4ad51 --- /dev/null +++ b/notes-accq205.tex @@ -0,0 +1,139 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix} +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newtheorem{defn}[comcnt]{Définition} +\newtheorem{prop}[comcnt]{Proposition} +\newtheorem{lem}[comcnt]{Lemme} +\newtheorem{thm}[comcnt]{Théorème} +\newtheorem{cor}[comcnt]{Corollaire} +\newtheorem{scho}[comcnt]{Scholie} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\outnb}{\operatorname{outnb}} +\newcommand{\downstr}{\operatorname{downstr}} +\newcommand{\mex}{\operatorname{mex}} +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\limp}{\Longrightarrow} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +% +% +\begin{document} +\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)} +\author{David A. Madore} +\maketitle + +\centerline{\textbf{ACCQ205}} + +{\footnotesize +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +\begin{center} +Git: \input{vcline.tex} +\end{center} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + + + +% +% +% + +\section{Corps et extensions de corps} + +\subsection{Extensions algébriques et transcendantes} + +\thingy On rappelle qu'un \textbf{corps} est un anneau (sous-entendu : +commutatif) $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments +inversibles est l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls. +Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$ +entre corps, qui est automatiquement injectif (car son noyau est un +idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être +considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit +$K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit +aussi que $k$ est un sous-corps de $K$. + +\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, on +note $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$, c'est-à-dire le plus +petit sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$ (i.e., l'intersection de +tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et $x$, qui vérifie elle-même +cette propriété). + +\danger On prendra garde au fait que la même notation $k(x)$ peut +désigner soit l'extension de $k$ engendrée par $x$ dans un corps $K$ +plus grand, soit le corps des fractions rationnelles à une +indéterminée $x$ sur $k$. (Ces conventions sont cependant cohérentes +en ce sens que le corps des fractions rationnelles à une indéterminée +sur $k$ est bien l'extension de $k$ engendrée par l'indéterminée.) Il +faut donc prendre garde à ce qu'est $x$ quand cette notation +apparaît : si aucune remarque n'est faite, il est généralement +sous-entendu que $x$ est une indéterminée. La même remarque vaut, +\textit{mutatis mutandis}, pour $k[x]$, qui peut désigner la plus +petite $k$-algèbre engendrée par $x$ ou bien l'anneau des polynômes en +une indéterminée $x$ sur $k$. + +\thingy Si $k \subseteq K$ est une extension de corps et $x\in K$, il +existe un unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$ (où $k[t]$ est +l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$) envoyant $t$ +sur $x$ (c'est-à-dire, envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in +k[t]$). Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Deux cas +peuvent se produire : +\begin{itemize} +\item soit $\varphi$ est injectif, auquel cas on dit que $x$ est + \textbf{transcendant} sur $k$ : dans ce cas, $\varphi$ se prolonge + de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ (où $k(t)$ + est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée $t$ + sur $k$), puisque $\varphi(P)/\varphi(Q)$ a bien un sens dès que + $P/Q \in k(t)$, et l'image de $k(t)$ dans $K$ est précisément + $k(x)$, ce qui permet d'identifier $k(x)$ avec le corps des + fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$ + comme une indéterminée) ; +\item soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme + unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal} + de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou + \textbf{entier}) sur $k$ : alors $k(x)$ s'identifie, via l'image + de $\varphi$, à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension + $\deg\mu_x$ finie sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; + de plus, le polynôme $\mu_x$ est irréductible dans $k[t]$ (sans quoi + on aurait deux éléments dont le produit est nul dans $K$). +\end{itemize} + +% +% +% +\end{document} @@ -0,0 +1,2 @@ +#! /bin/sh +git log --pretty=format:'\verb=%h %ad=' -1 |