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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index bbe6c2d..9bcd044 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5195,60 +5195,102 @@ transcendance, automatiquement séparante en caractéristique $0$, et elle l'est moins en caractéristique positive, surtout si $k$ n'est pas parfait. On va essayer de l'éclaircir : -\begin{prop} +\begin{prop}\label{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve} Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable -(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in -\mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_v$ l'anneau de -valuation correspondant ($\{f \in K : v(f) \geq 0\}$). Alors le -$R$-module $\Omega^1_{R/k}$ s'identifie au sous-$R$-module de +(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in +\mathscr{V}_{K/k}$ une place et soit $R = \mathcal{O}_P$ l'anneau de +valuation correspondant\footnote{Voir + note \ref{footnote-place-versus-valuation} + page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} ($\{f \in K : +\ord_P(f) \geq 0\}$). +Alors le $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ s'identifie au sous-$R$-module de $\Omega^1_{K/k}$ engendré par les $df$ pour $f\in R$ (autrement dit, $d_R f \mapsto d_K f$ définit une application $R$-linéaire injective, ce qui permet d'identifier $\Omega^1_{R/k}$ à l'image de celle-ci). De plus, $\Omega^1_{R/k}$ est \emph{libre} de rang $1$ comme $R$-module : autrement dit, si on a fixé $t \in R$ une uniformisante -(c'est-à-dire $v(t) = 1$), il existe $\alpha \in \Omega^1_{R/k}$ tel -que tout élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ s'écrive de façon unique -$\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \mathbb{Z}$, -et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in \Omega^1_{R/k}$ -(cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)). +(c'est-à-dire $\ord_P(t) = 1$), il existe $\alpha \in \Omega^1_{R/k}$ +tel que tout élément $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ s'écrive de façon +unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in +\mathbb{Z}$, et qu'on ait $i\geq 0$ si et seulement si $\omega \in +\Omega^1_{R/k}$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(b)). \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{defn} +Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable +(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une +place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in +\Omega^1_{K/k}$, on appelle $\ord_P(\omega)$ l'entier $i$ de la +proposition \ref{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve}, +c'est-à-dire le plus grand $i$ tel qu'on ait $\omega/t^i \in +\Omega^1_{\mathcal{O}_P/k}$ où $t$ est une uniformisante en $P$ +(concrètement, il s'agit donc du plus grand $i$ tel qu'on puisse +écrire $\omega = g_1\, df_1 + \cdots + g_N\, df_N$ avec $\ord_P(g_j) +\geq i$ et $\ord_P(f_j) \geq 0$). + +Cet entier l'appelle ordre du zéro, ou opposé de l'ordre du pôle, +de $\omega$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(\omega)\geq 0$, on dit que +$\omega$ est \defin[holomorphe (différentielle)]{holomorphe} en $P$, +lorsque $\ord_P(\omega) > 0$, on dit qu'elle a un zéro en $P$, lorsque +$\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$. +\end{defn} + +\thingy Si $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que +$\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même +propriété pour deux fonctions, i.e., +d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)). + +La définition de $\ord_P(\omega)$ assez complexe. Heureusement, on va +pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes +(notamment si $k$ est parfait). + \begin{prop}\label{uniformizer-is-separating-transcendance-basis} Soit $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable -(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $v \in +(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), soit $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ une place \emph{elle-même séparable}, c'est-à-dire -que son corps résiduel $\varkappa_v$ est une extension séparable -de $k$, et soit enfin $t$ une uniformisante en $v$ (c'est-à-dire $v(t) -= 1$) : alors $dt$ est une base du $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ (qui -est libre de rang $1$ d'après la proposition précédente) ; en -particulier, $dt$ est une base du $K$-espace +que son corps résiduel $\varkappa_P$ est une extension séparable +de $k$, et soit enfin $t$ une uniformisante en $P$ +(c'est-à-dire $\ord_P(t) = 1$) : alors $dt$ est une base du $R$-module +$\Omega^1_{R/k}$ (qui est libre de rang $1$ d'après la proposition +précédente) ; en particulier, $dt$ est une base du $K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ (ou si on préfère, $t$ est une base de transcendance séparante de $K$ sur $k$). \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} +\begin{cor} +Dans les conditions de la +proposition \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on a +donc : $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)$ pour tout $\omega \in +\Omega^1_{K/k}$. +\end{cor} +\begin{proof} +On vient de voir que $dt$ est une base de $\Omega^1_{R/k}$, +c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$. On a alors $\ord_P(\omega) = +\ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a signalé. +\end{proof} + \begin{prop}\label{order-of-derivatives} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une -uniformisante en n'importe quelle place $v \in \mathscr{V}_{K/k}$ -(c'est-à-dire $v(t) = 1$, -cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}), alors pour tout $f -\in K$ on a +uniformisante en une $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ elle-même séparable +(i.e., $\varkappa_P$ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on +a : \begin{itemize} -\item $v(df/dt) = v(f)-1$ si $v(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e., $v(f)$ - n'est pas multiple de la caractéristique), et -\item $v(df/dt) \geq 0$ si $v(f) \geq 0$. +\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ + (i.e., $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et +\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$. \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} D'après \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on sait que $dt$ est une base de $\Omega^1_{K/k}$ et même de $\Omega^1_{R/k}$ -où $R = \mathcal{O}_v$. Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$ +où $R = \mathcal{O}_P$. Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$ pour tout $f \in K$ ; et on a même $df/dt \in R$ si $f \in R$ (car alors $df \in \Omega^1_{R/k}$). On vient donc de prouver le second -point. Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i = v(f)$ -et $u \in R^\times$ (en +point. Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i = +\ord_P(f)$ et $u \in R^\times$ (en utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}). On a alors $df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} = i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$, le premier terme a @@ -5258,34 +5300,6 @@ somme est $i-1$ (on utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). \end{proof} -\begin{defn} -Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable -(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour -toute place $P$ de $C$ et toute différentielle de Kähler $\omega \in -\Omega^1_{K/k}$, on pose -\[ -\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt) -\] -où $\ord_P$ désigne la valuation correspondant\footnote{Voir - note \ref{footnote-place-versus-valuation} - page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} à la place $P$ et -où $t \in k(C)$ est une uniformisante en $P$ (i.e. vérifie $\ord_P(t) -= 1$). On l'appelle ordre du zéro, ou opposé de l'ordre du pôle, -de $\omega$ en $P$ ; lorsque $\ord_P(\omega)\geq 0$, on dit que -$\omega$ est \defin[holomorphe (différentielle)]{holomorphe} en $P$, -lorsque $\ord_P(\omega) > 0$, on dit qu'elle a un zéro en $P$, lorsque -$\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$. -\end{defn} - -\thingy Cette définition ne dépend pas du choix de $t$, car si $t'$ -est une autre uniformisante en $P$, la -proposition \ref{order-of-derivatives} entraîne $\ord_P(dt'/dt) = 0$ -donc $\ord_P(\omega/dt') = \ord_P(\omega/dt)$. Par ailleurs, si -$\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que -$\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même -propriété pour deux fonctions, i.e., -d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)). - La proposition \ref{order-of-derivatives} signifie que pour $f \in K$ non nul : \begin{itemize} @@ -5326,7 +5340,8 @@ cette place. \end{defn} \thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$ -où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles. +où $t$ est l'indéterminée du corps $k(t)$ des fractions rationnelles, +lorsque $k$ est un corps parfait. En $0$, on a $\ord_0(t) = 1$ donc $\ord_0(dt) = 0$. En $\infty$, on a $\ord_\infty(t) = -1$ donc $\ord_\infty(dt) = -2$. Reste à traiter le cas des autres places, pour lesquelles la |