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diff --git a/controle-20210414.tex b/controle-20210414.tex index a40e088..02d25db 100644 --- a/controle-20210414.tex +++ b/controle-20210414.tex @@ -110,7 +110,9 @@ Git: \input{vcline.tex} Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la -clôture algébrique. +clôture algébrique. On rappelle qu'un « point géométrique » de +$\mathbb{P}^n$ désigne un point à coordonnées dans $k^{\alg}$, tandis +qu'un « point rationnel » désigne un point à coordonnées dans $k$. \smallbreak @@ -146,10 +148,9 @@ dans $k$. $\bullet$ (c) Reformuler ce résultat concernant le fermé de Zariski $\{c_2 x^2 + c_1 x y + c_0 y^2 = 0\}$ de la droite projective $\mathbb{P}^1$ (de coordonnées homogènes notées $(x:y)$) sur $k$ : pour $\Delta\neq 0$, ce fermé a exactement deux points géométriques -(c'est-à-dire à coefficients dans $k^{\alg}$) distincts, qui sont -rationnels (c'est-à-dire à coefficients dans $k$) si et seulement si -$\Delta$ est un carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a -exactement un point géométrique, et celui-ci est rationnel. +distincts, qui sont rationnels si et seulement si $\Delta$ est un +carré dans $k$ ; tandis que pour $\Delta=0$, il a exactement un point +géométrique, et celui-ci est rationnel. \smallbreak @@ -179,9 +180,12 @@ quadratique ») non nul\footnote{\label{nonsquare-footnote}On pourra comme la droite « doublée ») : on ignorera donc ce cas.} en trois variables $x,y,z$ qu'on identifie aux coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$. À titre d'exemple, $\{x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ est -une telle conique. En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q -= a_x\, x^2 + a_y\, y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$ -avec $a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$. +une telle conique. + +En général, une conique s'écrit $\{q = 0\}$ où $q = a_x\, x^2 + a_y\, +y^2 + a_z\, z^2 + b_x\, yz + b_y\, xz + b_z\, xy$ avec +$a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z$ six coefficients dans $k$, et on adoptera +cette notation. \smallbreak @@ -193,64 +197,137 @@ point vérifiant ces conditions est automatiquement sur $C_q$ (i.e., pourquoi l'annulation de $\frac{\partial q}{\partial x}$, $\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ en $(x_0:y_0:z_0)$ quelconque de $\mathbb{P}^2$ implique celle de $q$). -Donner une condition sur les coefficients de leurs équations pour que -trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient concourantes. En déduire que -la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si ses -coefficients vérifient +Donner une condition pour que trois droites dans $\mathbb{P}^2$ soient +concourantes (condition sur les coefficients de leurs équations). En +déduire que la conique $C_q$ a un point singulier si et seulement si +ses coefficients vérifient \[ 4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z = 0 \] et qu'il revient au même de dire qu'elle a un point singulier -rationnel (c'est-à-dire à coordonnées dans $k$) ou géométrique -(c'est-à-dire à coordonnées dans $k^{\alg}$). +géométrique ou rationnel. \smallbreak \textbf{(5)} Dans cette question, on souhaite mieux comprendre la structure d'une conique ayant un point singulier $(x_0:y_0:z_0)$. -Expliquer pourquoi on peut supposer que ce point singulier est le -point $(0:0:1)$. Montrer que la conique est alors $\{a_x\, x^2 + -b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$. En utilisant le résultat de la -question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x a_y$, qu'on -supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), montrer que la -conique $C_q$ est la réunion de deux droites géométriques -(c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients dans $k^{\alg}$), -s'intersectant au point singulier, et que si $\Delta$ est un carré -dans $k$, ces droites sont, en fait, rationnelles (c'est-à-dire que -leurs équations sont à coefficients dans $k$). $\bullet$ Donner un -exemple aussi simple que possible, sur $\mathbb{R}$, de conique réelle -ayant un point singulier (disons $(0:0:1)$), d'une part dans la -situation où les deux droites dont elle est réunion sont réelles, et -d'autre part dans la situation où elles sont complexes. +Expliquer pourquoi on peut supposer sans perte de généralité que ce +point singulier est le point $(0:0:1)$. Montrer que la conique est +alors $\{a_x\, x^2 + b_z\, xy + a_y\, y^2 = 0\}$. En utilisant le +résultat de la question (2) et en notant $\Delta := b_z^2 - 4 a_x +a_y$, qu'on supposera $\neq 0$ (cf. note \ref{nonsquare-footnote}), +montrer que la conique $C_q$ est la réunion de deux droites +géométriques (c'est-à-dire dont les équations sont à coefficients +dans $k^{\alg}$), s'intersectant au point singulier, et que si +$\Delta$ est un carré dans $k$, ces droites sont, en fait, +rationnelles (c'est-à-dire que leurs équations sont à coefficients +dans $k$). $\bullet$ Donner un exemple aussi simple que possible, sur +$\mathbb{R}$, de conique réelle ayant un point singulier +(disons $(0:0:1)$), d'une part dans la situation où les deux droites +dont elle est réunion sont réelles, et d'autre part dans la situation +où elles sont complexes. \smallbreak -On supposera maintenant la conique $C_q$ \emph{lisse}, c'est-à-dire -vérifiant $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y -b_z \neq 0$ (cf. question (4)). +On supposera maintenant, et jusqu'à la fin, que la conique est $C_q$ +\emph{lisse}, c'est-à-dire vérifie $4 a_x a_y a_z - a_x b_x^2 - a_y +b_y^2 - a_z b_z^2 + b_x b_y b_z \neq 0$ (cf. question (4)). -On appellera \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$) -d'un point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non -nécessairement situé sur $C_q$) la droite $\{ux+vy+wz = 0\}$ dont les -coefficients $u,v,w$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial x}$, -$\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial z}$ -respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$. +\smallbreak + +On appelle \emph{droite polaire}, relativement à $C_q$ (ou à $q$) d'un +point $P_0 := (x_0:y_0:z_0)$ de $\mathbb{P}^2$ (non nécessairement +situé sur $C_q$) la droite $\{u_0 x + v_0 y + w_0 z = 0\}$ dont les +coefficients $u_0,v_0,w_0$ sont donnés par $\frac{\partial q}{\partial + x}$, $\frac{\partial q}{\partial y}$ et $\frac{\partial q}{\partial + z}$ respectivement, évalués en $x_0,y_0,z_0$. \textbf{(6)} Pourquoi cette définition a-t-elle un sens ? (Autrement -dit, pourquoi $u,v,w$ ne s'annulent-ils pas simultanément ? Et +dit, pourquoi $u_0,v_0,w_0$ ne s'annulent-ils pas simultanément ? Et pourquoi la droite ne dépend-elle pas du choix des coordonnées -homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?) Montrer que $P_0 := -(x_0:y_0:z_0)$ est sur $C_q$ si et seulement si il est situé sur sa -propre droite polaire. Montrer que, lorsque c'est le cas, la droite -polaire $D_0$ en question rencontre $C_q$ en l'unique point -(géométrique) $P_0$ ; on dit que c'est la \emph{tangente} à $C_q$ -en $P_0$. - -\textbf{(7)} Si $P_0$ et $P_1$ sont deux points de $\mathbb{P}^2$, -montrer que $P_1$ est sur la droite polaire de $P_0$ si et seulement -si $P_0$ est sur la droite polaire de $P_1$ (on pourra exprimer ce -fait de comme une équation symétrique entre les coordonnées homogènes -$(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles $(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$). +homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ ?) Montrer que, si $P_0$ et $P_1$ +sont deux points de $\mathbb{P}^2$, alors $P_1$ est sur la droite +polaire de $P_0$ si et seulement si $P_0$ est sur la droite polaire +de $P_1$ (on pourra exprimer ce fait de comme une équation symétrique +entre les coordonnées homogènes $(x_0,y_0,z_0)$ de $P_0$ et celles +$(x_1,y_1,z_1)$ de $P_1$). Montrer que $P_0$ est sur $C_q$ si et +seulement si il est situé sur sa propre droite polaire. + +\textbf{(7)} Montrer que l'application envoyant un point de +$\mathbb{P}^2$ sur sa droite polaire définit une bijection des points +de $\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnels) sur les droites de +$\mathbb{P}^2$ (géométriques ou rationnelles) : pour cela, on pourra +constater que l'application $(x_0,y_0,z_0) \mapsto (u_0,v_0,w_0)$ est +linéaire. Expliquer pourquoi cette application envoie trois points +alignés sur trois droites concourantes. + +\textbf{(8)} Montrer que si $P_0$ est situé sur $C_q$, alors +l'intersection de la droite polaire de $P_0$ avec $C_q$ est réduite au +seul point $P_0$. (S'il y avait un deuxième point, on pourra montrer +qu'il aurait forcément la même droite polaire que $P_0$.) +Réciproquement, montrer que si $D$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ +rencontrant $C_q$ en un seul point, elle est la droite polaire de ce +point. Expliquer pourquoi ce point est automatiquement rationnel si +$D$ l'est (autrement dit, on peut écrire « un seul point » sans +ambiguïté dans les phrases précédentes). + +\smallbreak + +On appelle \emph{tangente} à $C_q$ en un de ses points la droite +polaire de ce point : on vient de voir qu'une droite est tangente à +$C_q$ lorsqu'elle la rencontre en un seul point (géométrique et +automatiquement rationnel si la droite l'est) ; ce point s'appelle le +point de \emph{tangence} de la tangente. + +On appelle \emph{triangle autopolaire} (relativement à $C_q$ ou à $q$) +la donnée de trois points $P_0,P_1,P_2$ distincts de $\mathbb{P}^2$ +tels que chacun soit situé sur la droite polaire de chacun des deux +autres. + +\textbf{(9)} Expliquer pourquoi on peut toujours trouver un triangle +autopolaire (rationnel). À quelle condition sur les coefficients +de $q$ le triangle $(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1)$ est-il +autopolaire ? En déduire que toute conique (plane, lisse) s'écrit, +après une transformation projective, sous la forme $\{a_x\, x^2 + +a_y\, y^2 + a_z\, z^2 = 0\}$ (on dit qu'elle est \emph{diagonale}). + +\textbf{(10)} En supposant temporairement que la conique $C_q$ est +diagonale, c'est-à-dire $b_x=b_y=b_z=0$ (cf. question précédente), +montrer que la droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ est tangente à $C_q$ si +et seulement si $a_y a_z u^2 + a_x a_z v^2 + a_x a_y w^2 = 0$. +$\bullet$ En déduire que, de manière générale, l'ensemble des points +$(u:v:w)$ de $\mathbb{P}^2$ (le plan projectif « dual ») tels que la +droite $\{ux + vy + wz = 0\}$ (du plan projectif d'origine, de +coordonnées $(x:y:z)$) soit tangente à $C_q$ définit lui-même une +conique (qu'on appelle conique \emph{duale} de $C_q$) ; on ne demande +pas d'écrire ses équations. $\bullet$ En déduire que par un point $P$ +non situé sur $C_q$ passent, géométriquement, exactement deux +tangentes à $C_q$. + +\textbf{(11)} En déduire la construction géométrique suivante de la +droite polaire $D$ d'un point $P$ de $\mathbb{P}^2$ : si $P$ est situé +sur $C_q$ c'est la tangente à $C_q$ en $P$, tandis que si $P$ n'est +pas situé sur $C_q$, alors $D$ est la droite reliant les deux points +de tangence, forcément distincts, des deux tangentes à $C_q$ passant +par $P$. $\bullet$ Faire une figure sur $\mathbb{R}$ illustrant cette +construction géométrique dans le cas où les deux droites tangentes à +$P$ sont réelles (le point est dit « extérieur » à la conique). +Esquisser une construction, ne faisant intervenir que des +constructions réelles, dans le cas où les droites sont complexes (le +point est « intérieur » à la conique). + +\smallbreak + +\textbf{(12)} Montrer le résultat suivant : si $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont +quatre points distincts situés sur la conique $C_q$, et si on pose +$P_0 = A_0 A_3 \wedge A_1 A_2$ (c'est-à-dire : l'intersection de la +droite reliant $A_0$ et $A_3$ et de celle reliant $A_1$ et $A_2$) et +$P_1 = A_1 A_3 \wedge A_0 A_2$ et $P_2 = A_2 A_3 \wedge A_0 A_1$, +alors le triangle $P_0, P_1, P_2$ est autopolaire. Pour cela, on +pourra expliquer pourquoi on peut supposer que $A_0,A_1,A_2,A_3$ sont +$(1{:}0{:}0),(0{:}1{:}0),(0{:}0{:}1),(1{:}1{:}1)$ respectivement et +calculer à la fois les coordonnées de $P_0,P_1,P_2$ et des conditions +sur les coefficients de $q$. % |