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diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex index 8e7697a..f686184 100644 --- a/notes-accq205-v2.tex +++ b/notes-accq205-v2.tex @@ -776,6 +776,97 @@ comme des vrais quotients dans le corps $\Frac(A)$). % +\subsection{Anneaux factoriels et lemme de Gauß} + +\thingy Un élément $p$ d'un anneau intègre $A$ est dit +\defin[irréductible (élément)]{irréductible} lorsque pour toute +écriture de $p$ comme un produit $p = fg$ de deux éléments de $A$, +exactement un des deux facteurs $f,g$ est une unité (c'est-à-dire, est +inversible). Par convention, ni $0$ ni les unités ne sont considérés +comme irréductibles ; en revanche, le produit d'un irréductible par +une unité est encore un irréductible. + +Dans le cas de $\mathbb{Z}$, les éléments irréductibles sont les +nombres premiers et leurs inverses ; dans le cas de +$k[t_1,\ldots,t_d]$, on obtient la notion usuelle de polynôme +irréductible. + +\thingy On dit qu'un anneau intègre $A$ est \defin[factoriel + (anneau)]{factoriel} lorsque tout élément non-nul s'écrit comme +produit d'une unité et d'éléments irréductibles, et que de plus cette +décomposition en facteurs irréductibles est unique au sens où on peut +toujours passer entre deux telles écritures quitte à permuter l'ordre +des facteurs et à les multiplier par des unités de $A$. Autrement +dit : (1) pour tout $a\in A$ non nul, il existe $u$ une unité et +$p_1,\ldots,p_r$ irréductibles tels que $a = u p_1\cdots p_r$, et +(2) si $p_1,\ldots,p_r$ et $q_1,\ldots,q_s$ sont irréductibles et +$q_1\cdots q_s = u p_1\cdots p_r$ avec $u$ une unité, alors $s=r$ et +il existe une permutation +$\sigma\colon\{1,\ldots,r\}\to\{1,\ldots,r\}$ telle que $q_{\sigma(i)} += u_i p_i$ avec $u_i$ une unité. + +L'anneau $\mathbb{Z}$ est factoriel : c'est l'affirmation standard sur +l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers. +Comme on va le signaler en \ref{gauss-lemma-on-irreducibility} +ci-dessous, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des polynômes en $d$ +indéterminées sur un corps $k$ est lui aussi factoriel. On peut par +ailleurs montrer que la localisation $A[S^{-1}]$ d'un anneau factoriel +est encore factorielle (lorsque $0\neq S$). + +\thingy\label{irreducible-elements-and-prime-ideals} Si $p$ est un +élément irréductible d'un anneau factoriel $A$, alors, lorsque $p$ +divise un produit $fg$, il divise forcément l'un des facteurs $f,g$ +(en effet, $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs +irréductibles de $fg$, qui par unicité s'obtient en regroupant celle +de $f$ et celle de $g$, donc $p$ divise l'un de ces deux éléments). +Autrement dit, on a montré que l'idéal $(p)$ est un idéal premier. + +Réciproquement, si $(p)$ est un idéal premier non nul dans un anneau +factoriel $A$, alors $p$ est irréductible (en effet, si $p$ était +produit d'au moins deux irréductibles, aucun de ces irréductibles ne +serait un multiple de $p$ mais leur produit le serait). + +(Un élément $p \neq 0$ d'un anneau intègre tel que l'idéal $(p)$ soit +premier est parfois dit « premier » : dans un anneau intègre +quelconque, ceci implique toujours « irréductible », mais la +réciproque ne vaut pas en général. On peut montrer qu'un anneau +intègre est factoriel si et seulement si tout élément non nul admet +une factorisation comme produit d'une unité et d'éléments premiers.) + +\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Concernant les anneaux de +polynômes, on a le \defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} suivant : si +$A$ est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors +l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est +factoriel ; et par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible +(dans $A[t]$) si et seulement si $f$ est constant et irréductible +dans $A$, \emph{ou bien} $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} +et le pgcd (dans $A$) des coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ +est \defin[primitif (polynôme)]{primitif} lorsque cette dernière +condition est vérifiée). + +Le point-clé dans la démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ +des coefficients d'un polynôme dans $A[t]$, aussi appelé +\defin{contenu} de $f$, est multiplicatif (i.e., $c(fg) = +c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en facteurs irréductibles dans $A[t]$ +d'un élément de $A[t]$ s'obtient alors à partir de celle de $K[t]$ et +de celle dans $A$ du contenu. + +On en déduit que pour tout $d$, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des +polynômes en $d$ indéterminées sur un corps $k$ est un anneau +factoriel ; et de plus, qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d,z]$ (en +$d+1$ indéterminées) irréductible et faisant effectivement +intervenir $t$ est encore irréductible dans $k(t_1,\ldots,t_d)[t]$, et +réciproquement, qu'un polynôme irréductible dans +$k(t_1,\ldots,t_d)[t]$ donne un polynôme irréductible dans +$k[t_1,\ldots,t_d,t]$ quitte à multiplier par le pgcd des +dénominateurs. + +On retient par ailleurs de \ref{irreducible-elements-and-prime-ideals} +qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ non-nul est irréductible si +et seulement si l'idéal $(f)$ qu'il engendre est premier. + + +% % % @@ -1137,10 +1228,11 @@ $k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$). \subsection{Fermés irréductibles et idéaux premiers} \thingy On dit qu'un fermé de Zariski $E \subseteq k^d$ non vide est -\defin{irréductible} lorsqu'on ne peut pas l'écrire comme réunion de -deux fermés de Zariski strictement plus petits : autrement dit, -lorsque $E = E' \cup E''$, où $E',E''$ sont deux fermés de Zariski -(forcément contenus dans $E$), implique $E'=E$ ou $E''=E$. +\defin[irréductible (fermé)]{irréductible} lorsqu'on ne peut pas +l'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski strictement plus +petits : autrement dit, lorsque $E = E' \cup E''$, où $E',E''$ sont +deux fermés de Zariski (forcément contenus dans $E$), implique $E'=E$ +ou $E''=E$. \emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y) |