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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5e4c848..e837292 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -763,7 +763,7 @@ de \ref{base-of-compositum}. \subsection{Bases et degré de transcendance} -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-transcendence-basis} Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement @@ -1822,6 +1822,29 @@ les résultats suivants : \end{thm} +\section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski} + +\subsection{Idéaux maximaux d'anneaux de polynômes} + +\begin{prop} +Soit $k$ un corps algébriquement clos et $k \subseteq K$ une extension +de corps de type fini. Alors il existe $z_1,\ldots,z_{d+1} \in K$ +tels que $K = k(z_1,\ldots,z_{d+1})$ avec $z_1,\ldots,z_d$ +algébriquement indépendants sur $k$ +(cf. \ref{definition-transcendence-basis}) et $z_{d+1}$ séparable sur +$k(z_1,\ldots,z_d)$ (cf. \ref{definition-separable-element}). +\end{prop} +\begin{proof} +Supposons $K = k(w_1,\ldots,w_n)$ et soit $d = \degtrans_k(K)$ : +disons que $w_1,\ldots,w_d$ sont algébriquement indépendants sur $K$ +(cf. \ref{transcendence-basis-facts}(1b)). Alors tout $y \in K$ est +algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire +$f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[y]$ +irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in +k[t_1,\ldots,t_d,y]$ irréductible. \textcolor{red}{...} +\end{proof} + + % TODO: % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski. |