diff options
| -rw-r--r-- | notes-accq205.tex | 83 |
1 files changed, 83 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index fc6ae97..81112ca 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5486,6 +5486,89 @@ le corps des fractions rationnelles en une indéterminée. \end{proof} +\subsection{Points et places}\label{subsection-points-and-places} + +\thingy On a défini en \ref{definition-function-field} un « corps de + fonctions de courbe » $K = k(C)$ sur $k$ comme une extension de +corps de $k$ qui soit de type fini et de degré de transcendance $1$ +sur $k$. La « courbe » elle-même n'a pas été définie et est +considérée comme un objet purement formel dont on peut parler +essentiellement à travers ses fonctions (i.e., les éléments de $K$) et +ses places (i.e., les valuations — forcément discrètes — non-triviales +de $K$ au-dessus de $k$). + +Cependant, si $Z(I)$ est un fermé de Zariski irréductible défini par +un idéal $I$ premier de $k[t_1,\ldots,t_n]$ tel que que le corps des +fractions $K$ de l'anneau $A := k[t_1,\ldots,t_n]/I$ (des fonctions +régulières sur $Z(I)$) soit de degré de transcendance $1$ sur $k$ +(\emph{par exemple} $I = (P) \subseteq k[x,y]$ avec $P$ irréductible +comme en \ref{function-field-of-a-plane-curve}), on a envie de faire +un lien entre les « points » (rationnels ou fermés) de $Z(I)$ +(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}) et les +places de la courbe $C$ définie par $K$. Un tel rapport existe, même +s'il n'est pas parfait. + +\thingy Dans un sens, on peut considérer les classes de +$t_1,\ldots,t_n$ modulo $I$ comme des fonctions régulières +(cf. \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set}) sur $Z(I)$, donc +des éléments de $K = \Frac(A)$, i.e., des fonctions « sur $C$ », qu'on +notera $\bar t_1,\ldots,\bar t_n$. Précisément, si $P$ est une place +de $C$ (c'est-à-dire de $K$), on peut considérer l'évaluation en $P$ +de $\bar t_i$ (cf. \ref{evaluation-of-a-function-at-a-place}), +c'est-à-dire soit la classe de $\bar t_i \in \mathcal{O}_P$ modulo +$\mathfrak{m}_P$, si $\ord_P(\bar t_i) \geq 0$, soit le +symbole $\infty$. + +Lorsque aucun des $\bar t_i$ n'a de pôle en $P$, ce qui peut se +traduire par $\ord_P(\bar t_i) \geq 0$ pour chaque $i$, ou encore $A +\subseteq \mathcal{O}_P$ (vu que $A$ est le sous-anneau $k[\bar + t_1,\ldots,\bar t_n]$ de $K$ engendré par $k$ et les $\bar t_i$), +les évaluations en $P$ des $\bar t_i$, vues comme des éléments de +$\varkappa_P$ qu'on peut plonger de différentes manières +dans $k^{\alg}$ (cf. \ref{degree-of-a-place}), définissent des points +dans $(k^{\alg})^n$ : ces points sont solutions des équations $h_j$ +définissant $I$ (disons $I = (h_1,\ldots,h_m)$) car $h_j(\bar +t_1,\ldots,\bar t_n) = 0$ pour chaque $j$, ce qui donne la même +propriété sur leurs classes modulo $\mathfrak{m}_P$. On a donc +associé à chaque place $P$ de $C$ telle que $A \subseteq +\mathcal{O}_P$ des points géométriques de $Z(I)$ (pour être un peu +plus précis, il faudrait considérer les différents plongements de +$\varkappa_P$ dans $k^{\alg}$, ce qui, si $k$ est parfait, peut être +décrit comme une orbite sous Galois). + +Une autre façon de procéder consiste à remarquer que, toujours si +aucun des $\bar t_i$ n'a de pôle en $P$, c'est-à-dire si $A \subseteq +\mathcal{O}_P$, l'intersection $\mathfrak{p} := A \cap \mathfrak{m}_P$ +de $A$ avec l'idéal maximal $\mathfrak{m}_P = \{x \in K : \ord_P(x) > +0\}$ est encore un idéal \emph{maximal} : le fait qu'il s'agisse d'un +idéal est clair (l'intersection d'un idéal de $\mathcal{O}_P$ avec un +sous-anneau de celui-ci est certainement un idéal), et il est maximal +car l'image $A / \mathfrak{p}$ de $A$ dans +$\varkappa_P = \mathcal{O}_P/\mathfrak{m}_P$ est un sous-anneau de +$\varkappa_P$ contenant $k$, c'est-à-dire une $k$-algèbre de dimension +finie intègre, donc un corps +d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}. L'idéal $I + +\mathfrak{p}$ de $k[t_1,\ldots,t_n]$ (abus de notation pour les +polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathrak{p}$) a le +même quotient et il est donc lui aussi maximal. Autrement dit, ceci +définit ce qu'on a appelé un « point fermé » $Z(I + \mathfrak{p})$ +de $Z(I)$. + +Enfin, si dans la situation du paragraphe précédent, $P$ est une place +rationnelle, i.e., $\varkappa_P = k$, alors $A/\mathfrak{p}$ est aussi +égal à $k$, c'est-à-dire que $I + \mathfrak{p}$ est un idéal de la +forme $(t_1-x_1,\ldots,t_n-x_n)$ (où $x_i \in k$ est la classe +de $t_i$ modulo $I+\mathfrak{p}$, c'est-à-dire celle de $\bar t_i$ +modulo $\mathfrak{p}$ ou de façon équivalente de +modulo $\mathfrak{m}_P$, i.e., l'évaluation de $\bar t_i$ en $P$). On +obtient donc bien (le singleton d')un point rationnel de $Z(I)$ dans +cette situation, qui coïncide avec le point géométrique construit à +l'avant-dernier paragraphe. (C'est notamment le cas si $k$ est +algébriquement clos ; et si $k$ est parfait, on voit donc que le +point fermé défini au paragraphe précédent est l'orbite sous Galois +des points géométriques définis à l'avant-dernier paragraphe.) + + \subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings} \thingy Soit $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, et |