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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 81112ca..36a87a2 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1768,7 +1768,7 @@ où ce polynôme se scinde (parce que $f_2$ s'y scinde). C'est donc que $x_2 \in k(y)$, et on a expliqué que cela conclut. \end{proof} -\begin{cor} +\begin{cor}\label{finite-separable-extensions-are-monogeneous} Toute extension finie séparable est monogène. En particulier, toute extension finie d'un corps parfait est monogène. \end{cor} @@ -2359,7 +2359,7 @@ maximalité de $\mathfrak{M}$, cette inclusion est en fait une égalité, ce qu'on voulait prouver. \end{proof} -\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)} +\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)}\label{zariski-lemma} Soit $k$ un corps et $k \subseteq K$ une extension de type fini \emph{comme $k$-algèbre} (cf. \ref{subalgebra-generated}) : alors $K$ est en fait une extension \emph{finie} @@ -3376,7 +3376,8 @@ La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point \emph{rationnel}). -\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles +\thingy\label{examples-of-singular-rational-curves} +Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}. On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est @@ -5549,7 +5550,7 @@ $\varkappa_P$ contenant $k$, c'est-à-dire une $k$-algèbre de dimension finie intègre, donc un corps d'après \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}. L'idéal $I + \mathfrak{p}$ de $k[t_1,\ldots,t_n]$ (abus de notation pour les -polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathrak{p}$) a le +polynômes dont la classe modulo $I$ tombe dans $\mathfrak{p}$) a le même quotient et il est donc lui aussi maximal. Autrement dit, ceci définit ce qu'on a appelé un « point fermé » $Z(I + \mathfrak{p})$ de $Z(I)$. @@ -5568,6 +5569,35 @@ algébriquement clos ; et si $k$ est parfait, on voit donc que le point fermé défini au paragraphe précédent est l'orbite sous Galois des points géométriques définis à l'avant-dernier paragraphe.) +\thingy Il ne faut pas s'attendre à ce que la correspondance entre +(certaines) places de $C$ et points de $Z(I)$ définie aux paragraphes +précédents soit bijective : dans l'exemple de la cubique nodale +décrite en \ref{examples-of-singular-rational-curves}, la courbe est +rationnelle, c'est-à-dire que c'est $\mathbb{P}^1$, et les deux places +$\pm 1$ de $\mathbb{P}^1$ correspondent au seul point $(0,0)$ +de $Z(I)$. + +Néanmoins, elle est \emph{surjective} : c'est le contenu du +théorème \ref{existence-of-valuations} qui affirme que pour tout idéal +maximal $\mathfrak{p}$ de $A = k[t_1,\ldots,t_n]/I$ il existe une +valuation $v$ sur $K = \Frac(A)$ telle que $A \subseteq \mathcal{O}_v$ +et que $A \cap \mathfrak{m}_v = \mathfrak{p}$. (Notons que $v$ est +forcément non-triviale puisque $\mathfrak{p} \neq 0$ puisque $A$ n'est +pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et +d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce +qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.) + +\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut +dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point +de $Z(I)$. Pour donner un exemple simple, considérons $P \in k[x,y]$ +irréductible tel que $P(0,0) = 0$ et que $P'_y(0,0) \neq 0$ en notant +$P'_y$ la dérivée de $P$ par rapport à sa seconde variable. Si on +cherche une valuation $v$ de $K := k(\bar x, \bar y : P=0) = k(\bar +x)[y]/(P)$ qui détermine le point $(0,0)$, c'est-à-dire l'idéal +$\mathfrak{p}$ engendré par $\bar x$ et $\bar y$, elle doit vérifier +$a := v(\bar x) > 0$ et $b := v(\bar y) > 0$ ; \textcolor{red}{à + finir...} + \subsection{Revêtements de courbes}\label{subsection-coverings} |