path: root/controle-20220413.tex

%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
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\begin{document}
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\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\else
\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}}
\fi
\author{}
\date{13 avril 2022}
\maketitle

\pretolerance=8000
\tolerance=50000

\vskip1truein\relax

\noindent\textbf{Consignes.}

Les exercices sont totalement indépendants.  Ils pourront être traités
dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon
très visible dans les copies où commence chaque exercice.

La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé du dernier
exercice est long parce que beaucoup de rappels ont été faits et que
la rédaction des questions cherche à donner tous les éléments
nécessaires pour passer d'une question aux suivantes.

La difficulté des questions étant variée, il vaut mieux ne pas rester
bloqué trop longtemps.

Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut
valoir une partie des points.

\medbreak

L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé.

L'usage des appareils électroniques est interdit.

\medbreak

Durée : 2h

\ifcorrige
Ce corrigé comporte 9 pages (page de garde incluse).
\else
Cet énoncé comporte 5 pages (page de garde incluse).
\fi

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\par}

\pagebreak


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\exercice

Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$.  Soit $C$ le fermé de
Zariski de $\mathbb{A}^2$ sur $k$ d'équation $x^2 + y^2 = 2$ (ainsi,
pour $k = \mathbb{R}$, les points réels de $C$ forment un cercle
euclidien de rayon $\sqrt{2}$).

(1) Décrire la complétée projective $C^+$ de $C$ (c'est-à-dire
l'adhérence de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ où on identifie comme
d'habitude $\mathbb{A}^2$ à l'ouvert $T\neq 0$ du $\mathbb{P}^2$ de
coordonnées $(T:X:Y)$ en envoyant $(x,y)$ sur $(1:x:y)$).

(2) En remarquant que $P := (1,1)$ est un $k$-point de $C$ et en
considérant une droite $D_t$ de pente $t$ variable passant par $P$,
construire un morphisme d'un ouvert\footnote{C'est-à-dire qu'il peut
  admettre un nombre fini de points (géométriques) où il n'est pas
  défini.} de $\mathbb{A}^1$ vers $C$ (défini sur $k$), en envoyant
$t$ sur le point d'intersection autre que $P$ de $C$ avec la
droite $D_t$.

(3) En déduire un morphisme $\mathbb{P}^1 \to C^+$ (défini sur $k$) en
prolongeant le morphisme de la question précédente.

(4) Donner un exemple de solution entière $(u,v,w) \in \mathbb{Z}^3$
de l'équation $u^2 + v^2 = 2w^2$ autre que $(0,0,0)$ et $(\pm 1, \pm
1, \pm 1)$.


%
%
%

\exercice

Sur un corps $k$ quelconque, considérons l'application $\varphi$
définie sur une partie de $\mathbb{P}^2$ et à valeurs dans
$\mathbb{P}^2$ qui envoie le point de coordonnées homogènes $(X:Y:Z)$
sur $(YZ:XZ:XY)$ si défini.

(1) Quel est l'ouvert de Zariski $U$ de définition de $\varphi$ ?
Exprimer celui-ci comme le complémentaire de trois points de
$\mathbb{P}^2$ dont on précisera les coordonnées.

(2) Quel est l'ouvert de Zariski $V$ des points (de $U$) dont l'image
par $\varphi$ appartient à $U$ ?  Exprimer celui-ci comme le
complémentaire de trois droites de $\mathbb{P}^2$ dont on précisera
les équations.

(3) Que vaut $\varphi\circ\varphi$ sur $V$ ?


%
%
%

%% \exercice

%% On définit deux suites de polynômes $(T_n)$ et $(U_n)$
%% dans $\mathbb{Z}[x]$ (polynômes de Čebyšëv de première et seconde
%% espèce) par les formules de récurrence suivantes :
%% \[
%% \left\{\begin{aligned}
%% T_0(x) &= 1\\
%% T_1(x) &= x\\
%% T_{n+1}(x) &= 2x\, T_n(x) - T_{n-1}(x)\\
%% \end{aligned}\right.
%% \;\;\;\hbox{~et~}\;\;\;
%% \left\{\begin{aligned}
%% U_{-1}(x) &= 0\\
%% U_0(x) &= 1\\
%% U_{n+1}(x) &= 2x\, U_n(x) - U_{n-1}(x)\\
%% \end{aligned}\right.
%% \]


%
%
%

\exercice

Soit $k$ un corps de caractéristique $0$ et qu'on supposera
algébriquement clos pour simplifier.  Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in
k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5)
\in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines.  On
appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant
un point à l'infini\footnote{Pour être tout à fait exact, il ne s'agit
  pas de la complétée projective de $C$ dans $\mathbb{P}^2$, mais
  d'une « désingularisation » de celle-ci (qui a cependant un unique
  point en plus de ceux de $C$ comme la complétée projective).  Les
  questions qui suivent ont été rédigées de manière à ce que cette
  subtilité ne pose pas de problème.} noté $\infty$ à la variété
algébrique affine $C$ d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$.

On admettra sans justification les faits suivants :
\begin{itemize}
\item Que son corps des fonctions $K := k(C^+)$ peut se voir comme le
  quotient $k(x)[y]/(y^2 - p(x))$ de l'anneau $k(x)[y]$ des polynômes
  en l'indéterminée $y$ sur le corps $k(x)$ des fractions rationnelles
  en une indéterminée $x$ sur $k$ par le polynôme $y^2 - p(x)$
  définissant $C$, c'est-à-dire, concrètement :
\item que tout élément de $K$ peut s'écrire de façon unique $g_0 +
  g_1\,y$ où $g_0,g_1 \in k(x)$ sont deux fractions rationnelles
  en $x$, l'addition se calculant en ajoutant terme à terme, et la
  multiplication en développant le produit et en remplaçant $y^2$ par
  $p(x)$.
\end{itemize}

On rappelle par ailleurs qu'une \emph{valuation discrète} sur $K$
au-dessus de $k$ et une fonction $v\colon K\to
\mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes :
\textbf{(o)} $v(f) = +\infty$ si et seulement si $f=0$,\quad
\textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec
automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad
\textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c)
= 0$ si $c\in k$,\quad et enfin \textbf{(n)} il existe $f\in K$ telle
que $v(f) = 1$.  De plus, on rappelle que pour chaque point $P$
de $C^+$ il existe une unique telle valuation discrète $v =: \ord_P$
vérifiant en outre \textbf{(r)} $v(f) \geq 0$ si $f$ est régulière
en $P$ (et automatiquement, $v(f) > 0$ si $f$ s'annule en $P$).  Et
réciproquement, toute valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$ est
de cette forme (est un $\ord_P$ pour un certain $P$).

\smallbreak

(1) Si $v$ est une valuation discrète de $K$ au-dessus de $k$,
expliquer pourquoi sa restriction à $k(x)$ vérifie encore les
propriétés (o), (i), (ii) et (k) de la définition d'une valuation
discrète.  En déduire qu'elle est de la forme $e\cdot v'$ où $v'$ est
une valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$, et où $e\geq 1$ est
entier.

\smallbreak

On rappelle que toute valuation discrète de $k(x)$ au-dessus de $k$
est de la forme $\val_{x_0}$ pour $x_0 \in k$ ou bien $\val_\infty$,
où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que
  $\val_{x_0}(g)$ est l'exposant de la plus grande puissance de
  $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) =
  \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction
rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du
dénominateur moins le degré du numérateur.  (NB : c'est seulement pour
éviter la confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a
écrit $\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en
un point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une
fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$.  Il
s'agit de la même construction sur deux courbes différentes.)

\smallbreak

(2) Soit $P_i$ le point $(\xi_i,0)$ de $C$ (pour $1\leq i\leq 5$
fixé).  On cherche à calculer $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y)$.  Montrer que
$\ord_{P_i}(g) = e\, \val_{\xi_i}(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est
un entier restant à déterminer.  En déduire que $\ord_{P_i}(y) =
\frac{e}{2}$.  En déduire que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) =
e\,\min(\val_{\xi_i}(g_0),\; \val_{\xi_i}(g_1)+\frac{1}{2})$.  En
déduire que $e=2$ exactement, et donc que $\ord_{P_i}(g_0 + g_1\,y) =
\min(2\val_{\xi_i}(g_0),\; 2\val_{\xi_i}(g_1)+1)$.

\smallbreak

(3) Soit $\infty$ le point à l'infini de $C^+$ (non situé sur $C$).
On cherche à calculer $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y)$ de façon analogue à
la question précédente.  Montrer que $\ord_\infty(g) = e\,
\val_\infty(g)$ si $g\in k(x)$, où $e\geq 1$ est un entier restant à
déterminer (\textit{a priori} sans lien avec celui de la question
précédente).  En déduire que $\ord_\infty(y) = -\frac{5e}{2}$.  En
déduire que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = e\,\min(\val_\infty(g_0),\;
\val_\infty(g_1)-\frac{5}{2})$.  En déduire que $e=2$ exactement, et
donc que $\ord_\infty(g_0 + g_1\,y) = \min(2\val_\infty(g_0),\;
2\val_\infty(g_1)-5)$.

\smallbreak

(4) Soit $Q := (x_Q,y_Q)$ un point de $C$ avec $y_Q \neq 0$ (ou, ce
qui revient au même, $x_Q \not\in \{\xi_1,\ldots,\xi_5\}$) ; on notera
$Q' := (x_Q,-y_Q)$ son symétrique.  En quels points de $C^+$ la
fonction $h := x - x_Q$ a-t-elle un zéro ?  En utilisant le fait que
$\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) =
\ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$.  En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$
pour tout $g \in k(x)$.  En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on
pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q)
\neq 0$).  Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ n'a pas de pôle en
$Q$ ni en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra
écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde
f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la
symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$).

\smallbreak

(5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel
$\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$
sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $\leq n$ en $\infty$
(c'est-à-dire $\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs
(c'est-à-dire $\ord_Q(f) \geq 0$ pour tout $Q \in C$).  Montrer que
cela équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$
et $g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$.  En déduire
que la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut
$\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) +
\max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne
la partie entière de $v$.  En déduire que
\[
\ell(n[\infty]) =
\left\{
\begin{array}{ll}
1,1,2&\hbox{~si $n=0,1,2$ respectivement}\\
n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\
\end{array}
\right.
\]
(on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$
séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair).  On
rappelle que le théorème de Riemann-Roch prédit $\ell(n[\infty]) = n +
1 - g$ si $n$ est assez grand, où $g$ est le genre de la courbe : que
vaut $g$ ici ?

\smallbreak

Pour la question suivante, on rappelle que la différentielle $df$
d'une fonction $f$ a pour ordre $\ord_Q(df) = \ord_Q(f) - 1$ si
$\ord_Q(f) \neq 0$, et $\ord_Q(df) \geq 0$ dès que $\ord_Q(f) \geq 0$.
On rappelle par ailleurs que $f \mapsto df$ est $k$-linéaire et que
$d(ff') = f\,df' + f'\,df$.

\smallbreak

(6) Calculer $\ord_Q(dx)$ en tout $Q \in C^+$ (y compris $\infty$ et
les cinq points $P_1,\ldots,P_5$) ; on pourra remarquer que $d(x-c) =
dx$.  En déduire que le diviseur canonique de $\omega := \frac{dx}{y}$
vaut $2[\infty]$, c'est-à-dire que $\ord_Q(\omega) = 0$ en tout point
$Q$ sauf $\ord_\infty(\omega) = 2$.  Le théorème de Riemann-Roch
prédit plus exactement $\ell(n[\infty]) - \ell((2-n)[\infty])) = n + 1
- g$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : vérifier directement cette
affirmation à l'aide du résultat calculé à la question (5).

\smallbreak

(7) Aux questions (2) et (3), on a calculé exactement $\ord_Q(f)$
(pour $f$ quelconque, écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$) si $Q$ est
l'un des six points $P_1,\ldots,P_5,\infty$, en calculant séparément
$\ord_Q(g)$ si $g\in k(x)$ et $\ord_Q(y)$.  À la question (4), on a
étudié $\ord_Q$ pour un quelconque autre point, on a calculé
$\ord_Q(g)$ et $\ord_Q(y - y_Q)$.  Ceci permet-il de calculer
$\ord_Q(f)$ en général ?  Si non, donner un exemple de fonction $f \in
K$ dont le calcul ne découle pas de ces valeurs.



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\end{document}