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\begin{document}
\title{Courbes algébriques\\(notes de cours v2)}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{ACCQ205}}

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{\footnotesize
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\par}

\bigbreak

\section{Prolégomènes d'algèbre commutative}\label{commutative-algebra}

\subsection{Anneaux réduits, intègres}\label{subsection-reduced-and-integral-rings}

\thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux
considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$).  Il
existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un
seul élément, appelé l'\defin[nul (anneau)]{anneau nul}.  (Pour tout
anneau $A$, il existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ;
en revanche, il n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si
$A$ est lui-même l'anneau nul.)

\thingy\label{recollections-on-ideals} On rappelle qu'un \defin{idéal}
d'un anneau $A$ est un sous-groupe additif $I$ de $A$ tel que $AI
\subseteq I$ ; on dispose alors d'une structure d'anneau sur le groupe
abélien quotient $A/I$ (la multiplication étant définie par
$(x+I)\,(y+I) = xy+I$ où $z+I$ désigne la classe de $z$ modulo $I$).
On peut aussi définir un idéal comme le noyau d'un morphisme d'anneaux
(le noyau de la surjection canonique $A \mapsto A/I$ étant
justement $I$).

Il est souvent utile de se rappeler que les idéaux d'un quotient $A/I$
correspondent exactement aux idéaux de $A$ contenant $I$ ; plus
précisément, si $J$ est un idéal de $A$ contenant $I$, l'image $J/I$
de $J$ par la surjection canonique $A \to A/I$ est un idéal de $A/I$,
et l'application $J \mapsto J/I$ définit une bijection entre idéaux
$J$ de $A$ contenant $I$ et idéaux de $A/I$.  De surcroît, le quotient
de $A/I$ par $J/I$ s'identifie à $A/J$.

\thingy\label{review-of-canonical-factorization} On aura fréquemmment
besoin du fait suivant : quel que soit le morphisme d'anneaux
$\psi\colon A\to B$, l'\emph{image} $\im\psi := \{\psi(x) : x\in A\}$
de $\psi$ (qui est un sous-anneau de $B$) s'identifie au quotient
$A/\ker\psi$ de $A$ par le noyau de $\psi$ : l'identification se fait
par l'isomorphisme $\tilde\psi$ qui envoie la classe de $z\in A$
modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z) \in B$.  (Si on veut, on a
factorisé le morphisme $\psi\colon A\to B$ comme composée de la
surjection canonique $A \to A/\ker\psi$, suivie d'un isomorphisme
$\tilde\psi$, suivie de l'injection canonique $\im\psi\to B$.)  De
façon plus concise, « un morphisme d'anneaux identifie son image au
quotient de sa source par son noyau ».

Dans le cas particulier où $\psi$ est surjectif, ceci signifie qu'un
morphisme surjectif $\psi\colon A\to B$ permet d'identifier $B$ au
quotient $A/\ker\psi$ de $A$ par son noyau.

\thingy\label{ideal-generated-by-elements} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$
sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les idéaux contenant
les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal \defin[engendré
  (idéal)]{engendré} par les $x_i$ : c'est l'ensemble des toutes les
combinaisons linéaires $a_1 x_{i_1} + \cdots + a_n x_{i_n}$ avec
$a_1,\ldots,a_n \in A$ et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.  Lorsque
$\Lambda$ est fini : l'idéal $I$ engendré par $x_1,\ldots,x_n$ est
l'ensemble des toutes les combinaisons linéaires $a_1 x_1 + \cdots +
a_n x_n$ et il peut se noter $Ax_1 + \cdots + Ax_n$ ou parfois
$(x_1,\ldots,x_n)$ : on dit que $I$ est un idéal \defin[type fini
  (idéal)]{de type fini}.  Si $I$ peut être engendré par un seul
élément, $I = Ax$ (aussi noté $(x)$), on dit que $I$ est un idéal
\defin[principal (idéal)]{principal}.

Dans tout anneau, on peut définir l'\defin[nul (idéal)]{idéal
  nul} $(0) = \{0\}$, également noté $0$, et l'\defin[unité
  (idéal)]{idéal unité} $(1) = A$.  Remarquons que le quotient de $A$
par l'idéal nul est simplement $A$, tandis que le quotient de $A$ par
l'idéall unité est l'anneau nul.  On appelle parfois \defin[strict
  (idéal)]{strict} un idéal qui n'est pas l'idéal unité.

\bigbreak

\thingy Si $k$ est un anneau, une \defin[algèbre]{$k$-algèbre} (là
aussi : implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme
d'anneaux $k \buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \defin[structural
  (morphisme)]{morphisme structural} de l'algèbre.  On peut multiplier
un élément de $A$ par un élément de $k$ avec : $c\cdot x =
\varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$).  Un morphisme de
$k$-algèbres est un morphisme d'anneaux $A\buildrel\psi\over\to B$ tel
que le morphisme structural $k \buildrel\varphi_B\over\to B$ de $B$
soit la composée $k \buildrel\varphi_A\over\to A\buildrel\psi\over\to
B$ de celui de $A$ avec le morphisme considéré.

De façon équivalente, une $k$-algèbre est un $k$-module qui est muni
d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et les
morphismes de $k$-algèbres sont les applications $k$-linéaires qui
préservent la multiplication ; le morphisme structural peut alors se
retrouver par $c \mapsto c\cdot 1$.  Notons qu'une
$\mathbb{Z}$-algèbre est exactement la même chose qu'un anneau (raison
pour laquelle il est souvent préférable d'énoncer les résultats en
parlant de $k$-algèbres pour plus de généralité).

Dans la pratique, cependant $k$ sera généralement un corps : une
$k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication
$k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est
automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle.

\bigbreak

\thingy\label{regular-and-invertible-elements} Un élément $a$ d'un
anneau $A$ est dit \defin[régulier (élément d'un anneau)]{régulier},
resp. \defin{inversible}, lorsque $x \mapsto ax$ est injectif,
resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ implique $x = 0$ (la
réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il existe $x$ (appelé
inverse de $a$) tel que $ax = 1$.

Un élément $a$ qui n'est pas régulier est également appelé
\defin{diviseur de zéro} : cela signifie qu'il existe $x\neq 0$ tel
que $ax = 0$.

Un élément $a$ de $A$ est inversible si et seulement si l'idéal $(a)$
qu'il engendre est l'idéal unité $(1) = A$.  De façon équivalente, un
élément \emph{n'est pas} inversible si et seulement il appartient à un
idéal strict (c'est-à-dire, autre que l'idéal unité).

Dans un anneau, l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles
est un groupe, aussi appelé groupe des \defin[unité (dans un
  anneau)]{unités} de $A$.  Une « unité » est simplement un élément
inversible.

\thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Un \defin{corps} est un
anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments inversibles
est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls :
autrement dit, un corps est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) tout
élément non-nul est inversible.  De façon équivalente, un corps est un
anneau ayant exactement deux idéaux (qui sont alors $0$ et lui-même).
Par convention, l'anneau nul n'est pas un corps.

Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[maximal
  (idéal)]{maximal} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un
corps : de façon équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que
$\mathfrak{m}$ est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$.

\thingy\label{integral-domains-and-prime-ideals} Un anneau dans $A$
dans lequel l'ensemble des éléments réguliers est égal à l'ensemble $A
\setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est dit \defin[intègre
  (anneau)]{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un anneau
dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la
réciproque est toujours vraie).  Par convention, l'anneau nul n'est
pas intègre.

Un corps est, en particulier, un anneau intègre.

Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[premier
  (idéal)]{premier} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un
anneau intègre, autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab
\in \mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in
\mathfrak{p}$ (la réciproque est toujours vraie).

Un idéal maximal est, en particulier, premier.

\thingy\label{nilpotent-element-and-reduced-ring} Un élément $x$ d'un
anneau $A$ est dit \defin{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel
que $x^n = 0$.  Un anneau dans lequel le seul élément nilpotent
est $0$ est dit \defin[réduit (anneau)]{réduit}.

Un anneau intègre (et \textit{a fortiori} un corps) est, en
particulier, un anneau réduit (on démontre par récurrence sur $n$ que
$x^n = 0$ implique $x=0$).

Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[radical
  (idéal)]{radical} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{r}$ est un
anneau réduit, autrement dit lorsque $x^n \in \mathfrak{r}$
implique $x \in\mathfrak{r}$ (la réciproque est toujours vraie).

Un idéal premier (et \textit{a fortiori} un idéal maximal) est, en
particulier, un idéal radical.

\thingy\label{examples-prime-ideals} À titre d'exemple, parmi les
idéaux de $\mathbb{Z}$ (dont on rappelle qu'ils sont de la forme
$n\mathbb{Z}$ avec $n\in\mathbb{N}$) :
\begin{itemize}
\item l'idéal $2\mathbb{Z}$ est maximal puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ est un corps ;
\item l'idéal $0$ est premier mais pas maximal puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/0\mathbb{Z} = \mathbb{Z}$ est un anneau intègre mais pas
  un corps ;
\item l'idéal $6\mathbb{Z}$ est radical mais pas premier puisque le
  quotient $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})
  \times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ est un anneau réduit (car
  $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ le sont) mais
  pas intègre (car $2\times 3$ est nul modulo $6$) ;
\item l'idéal $4\mathbb{Z}$ n'est pas radical puisque le quotient
  $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ n'est pas réduit.
\end{itemize}

Pour donner un exemple moins évident, dans l'anneau $k[x,y]$ des
polynômes à deux indéterminées $x,y$ sur un corps $k$, l'idéal $(y)$
(des polynômes s'annulant identiquement sur l'axe des abscisses) est
premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que
l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal
puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$.

\bigbreak

Le résultat ensembliste suivant sera admis :
\begin{lem}[principe maximal de Hausdorff]\label{hausdorff-maximal-principle}
Soit $\mathscr{F}$ un ensemble de parties d'un ensemble $A$.  On
suppose que $\mathscr{F}$ est non vide et que pour toute partie non
vide $\mathscr{T}$ de $\mathscr{F}$ totalement ordonnée par
l'inclusion (c'est-à-dire telle que pour $I,I' \in \mathscr{T}$ on a
soit $I \subseteq I'$ soit $I \supseteq I'$) la réunion $\bigcup_{I
  \in \mathscr{T}} I$ soit contenue dans un élément de $\mathscr{F}$.
Alors il existe dans $\mathscr{F}$ un élément $M$ maximal pour
l'inclusion (c'est-à-dire que si $I \supseteq M$ avec $I \in
\mathscr{F}$ alors $I=M$).
\end{lem}

\begin{prop}\label{existence-maximal-ideals}
Dans un anneau $A$, tout idéal strict (=autre que $A$) est inclus dans
un idéal maximal.
\end{prop}
\begin{proof}
Si $I$ est un idéal strict de $A$, on applique le principe maximal de
Hausdorff à $\mathscr{F}$ l'ensemble des idéaux stricts de $A$
contenant $I$.  Si $\mathscr{T}$ est une chaîne (=partie totalement
ordonnée pour l'inclusion) de tels idéaux, la réunion $\bigcup_{I \in
  \mathscr{T}} I$ en est encore un\footnote{La réunion de deux idéaux
  n'est généralement pas un idéal, car si $x\in I$ et $x' \in I'$, la
  somme $x+x'$ n'a pas de raison d'appartenir à $I\cup I'$.  En
  revanche, si $\mathscr{T}$ est une famille d'idéaux totalement
  ordonnée par l'inclusion, alors $\bigcup_{I \in \mathscr{T}} I$ est
  un idéal : si $x\in I$ et $x' \in I'$, où $I,I'\in \mathscr{T}$, on
  peut écrire soit $I \subseteq I'$ soit $I'\subseteq I$, et dans un
  cas comme dans l'autre on a $x+x' \in \bigcup_{I \in \mathscr{T}}
  I$.} (pour voir que la réunion est encore un idéal strict, remarquer
que $1$ n'y appartient pas).  Le principe maximal de Hausdorff permet
de conclure.
\end{proof}

\begin{cor}
Dans un anneau $A$, l'ensemble $A^\times$ des éléments inversibles est
le complémentaire de la réunion de tous les idéaux maximaux de $A$.
\end{cor}
\begin{proof}
On a remarqué en \ref{regular-and-invertible-elements} qu'un élément
est non-inversible si et seulement si il appartient à un idéal strict
(c'est-à-dire, autre que l'idéal unité) ; la
proposition \ref{existence-maximal-ideals} assure que tout idéal
strict est inclus dans un idéal maximal, donc tout élément
non-inversible appartient à un idéal maximal, et réciproquement, comme
un idéal maximal est (par définition) strict, il ne contient que des
éléments non-inversibles.
\end{proof}

\thingy\label{local-ring} On peut introduire la terminologie
suivante : un anneau \defin[local (anneau)]{local} est un anneau $A$
ayant \emph{exactement un} idéal maximal $\mathfrak{m}$ (on vient de
voir que tout anneau non nul a au moins un idéal maximal).  Le (corps)
quotient $A/\mathfrak{m}$ s'appelle alors \defin{corps résiduel} de
l'anneau local.

\begin{prop}\label{nilradical-facts}
Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical (ou l'intersection des idéaux
radicaux).  Cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de
l'anneau.  On l'appelle le \defin{nilradical} de l'anneau.
\end{prop}
\begin{proof}
L'ensemble $\mathfrak{N}$ des nilpotents est un idéal car si $x^m=0$
et $y^n=0$ alors on a $(x+y)^{m+n}=0$ en développant (ceci montre la
stabilité par addition, les autres prioriétés d'un idéal sont
évidentes).  Cet idéal $\mathfrak{N}$ est inclus dans tout idéal
radical $\mathfrak{r}$, car $x^n = 0$ donne $x^n \in \mathfrak{r}$
donc $x \in \mathfrak{r}$ vu que $\mathfrak{r}$ est radical ; et
$\mathfrak{N}$ est lui-même radical car si $x^n$ est nilpotent alors
$x$ est aussi nilpotent.  Ainsi, $\mathfrak{N}$ est bien le plus petit
idéal radical, ou l'intersection des idéaux radicaux.

Comme $\mathfrak{N}$ est inclus dans tout idéal radical, il est en
particulier inclus dans tout idéal \emph{premier}.  Il reste à
montrer, réciproquement, que si $z$ est inclus dans tout idéal
premier, alors $z$ est nilpotent.

Supposons que $z$ ne soit pas nilpotent.  Considérons $\mathfrak{p}$
un idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun
$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff
(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$).
Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut
voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$.  Par maximalité de $\mathfrak{p}$,
chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux
  d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un
  idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus
  petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$
  et $J$.  Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un
  élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.}
$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$,
c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme
$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient
des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance
de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy
\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont
dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in
\mathfrak{p}$.

Enfin, dire que le quotient de $A$ par son nilradical est réduit
signifie exactement que si une puissance d'un élément est nilpotente
alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident.
\end{proof}

\begin{cor}\label{radical-of-an-ideal}
Si $A$ est un anneau et $I$ un idéal de $A$, l'ensemble des éléments
tels que $z^n \in I$ pour un certain $n \in \mathbb{N}$ est un idéal :
c'est le plus petit idéal radical contenant $I$.  Cet idéal est
l'intersection des idéaux radicaux de $A$ contenant $I$, et c'est
aussi l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$.  On
l'appelle le \defin[radical (d'un idéal)]{radical} de l'idéal $I$ et
on le note $\surd I$.
\end{cor}
\begin{proof}
Appliquons la proposition \ref{nilradical-facts} à l'anneau
quotient $A/I$, en se rappelant que les idéaux de $A/I$ correspondent
aux idéaux de $A$ contenant $I$ et ont les mêmes quotients
(cf. \ref{recollections-on-ideals}) : comme un nilpotent de $A/I$ est
précisément la classe modulo $I$ d'un $z\in A$ tel que $z^n\in I$ pour
un certain $n$, la proposition nous permet d'affirmer que l'ensemble
de ces $z$ est un idéal de $A$, que c'est le plus petit idéal radical
contenant $I$ ou l'intersection des idéaux radicaux contenant $I$, et
aussi l'intersection des idéaux premiers contenant $I$.
\end{proof}

\thingy On a défini la notion d'« idéal radical »
(en \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}) et de « radical d'un
idéal » (en \ref{radical-of-an-ideal}), mais ceci ne cause pas de
confusion parce que les idéaux radicaux sont justement ceux qui sont
égaux à leur radical, et que le radical d'un idéal est un idéal
radical.  (Autrement dit, $I$ est radical si et seulement si $I =
\surd I$, et $\surd I$ est toujours radical.)  On peut donc traiter le
deux concepts comme essentiellement synonymes.

\thingy On a vu en \ref{nilradical-facts} que l'intersection des
idéaux premiers d'un anneau coïncide avec l'intersection des idéaux
radicaux, et que c'est l'ensemble des éléments nilpotents, appelé
« nilradical ».

Par souci de parallélisme, on peut se demander ce qu'on peut dire de
l'intersection des idéaux \emph{maximaux} d'un anneau : celle-ci porte
aussi un nom, à savoir \defin{radical de Jacobson} de l'anneau en
question : on peut montrer que c'est l'ensemble des $z$ tels que
$1-cz$ soit inversible pour tout $c$ dans l'anneau.


%
\subsection{Anneaux noethériens}

\thingy On a dit en \ref{ideal-generated-by-elements} qu'un idéal $I$
d'un anneau $A$ est dit \defin[type fini (idéal)]{de type fini} (en
tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !) par
un nombre fini d'éléments $x_1,\ldots,x_n$, autrement dit, $I =
(x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i x_i : (a_1,\ldots,a_n) \in
A\}$.

Si c'est le cas, en fait, de toute famille $(y_i)_{i\in \Lambda}$
d'éléments qui engendrent $I$ on peut extraire une sous-famille finie
qui l'engendre.  En effet, si $I$ est engendré par $x_1,\ldots,x_n$ et
est aussi engendré par $(y_i)_{i\in \Lambda}$, alors l'écriture de
chaque $x_j$ comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait
intervenir qu'un nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$
suffit à exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$.

\thingy Un anneau $A$ est dit \defin[noethérien (anneau)]{noethérien}
lorsque tout idéal $I$ de $A$ est de type fini.

Un corps (ou un anneau principal, c'est-à-dire un anneau intègre dans
lequel tout idéal est principal) sont en particulier des anneaux
noethériens.  L'anneau $\mathbb{Z}$ est noethérien.

Remarquons aussi qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est
noethérien.  En effet, les idéaux de $A/J$ sont de la forme $I/J$ avec
$I$ un idéal de $A$ contenant $J$, et si $I$ est de type fini alors
$I/J$ l'est aussi (il est engendré par les classes modulo $J$ des
éléments qui engendrent $I$).  On peut aussi utiliser la proposition
suivante :

\begin{prop}
Un anneau $A$ est noethérien si et seulement si toute suite croissante
pour l'inclusion $I_0 \subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \cdots$
d'idéaux de $A$ stationne (c'est-à-dire, est constante à partir d'un
certain rang).
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons que $A$ soit noethérien.  Soit $I_0 \subseteq I_1 \subseteq
I_2 \subseteq \cdots$ une suite croissante d'idéaux de $A$, et soit
$I_\infty := \bigcup_{n=0}^{+\infty} I_n$ la réunion de tous ces
idéaux : comme on le vérifie facilement (ou cf. la note dans la
démonstration de \ref{existence-maximal-ideals}), ce $I_\infty$ est
encore un idéal de $A$.  Comme $A$ est noethérien, il est de type
fini : il existe donc un nombre fini d'éléments qui l'engendrent, et
tous ces éléments appartiennent à un certain $I_N$ de la suite ; on a
alors $I_N = I_\infty$.

Réciproquement, supposons que toute suite croissante d'idéaux de $A$
stationne, et soit $I$ un idéal quelconque de $A$ : on veut montrer
que $I$ est de type fini.  Supposons par l'absurde que ce ne soit pas
le cas.  Définissons par récurrence une suite d'éléments $(a_n)$.
Comme $I$ n'est pas de type fini donc pas égal à l'idéal $I_n :=
(a_1,\ldots,a_n)$ engendré par les $n$ premiers termes de la suite (on
pose $I_0 = (0)$), on peut choisir un élément $a_{n+1} \in I$ tel que
$a_{n+1} \not\in I_n$.  On a alors une suite strictement croissante
$I_0 \subsetneq I_1 \subsetneq I_2 \subsetneq \cdots$ (tous contenus
dans $I$), ce qui contredit l'hypothèse sur $A$.
\end{proof}

\begin{prop}[théorème de la base de Hilbert]\label{hilbert-basis-theorem}
Si $k$ est un anneau noethérien, alors l'anneau $k[t]$ des polynômes à
une indéterminée sur $k$ est noethérien.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I \subseteq k[t]$ un idéal.  Supposons par l'absurde que $I$
n'est pas de type fini.  On construit par récurrence une suite
$f_0,f_1,f_2,\ldots$ d'éléments de $I$ comme suit.  Si
$f_0,\ldots,f_{r-1}$ ont déjà été choisis, comme l'idéal
$(f_0,\ldots,f_{r-1})$ qu'ils engendrent n'est pas $I$, on peut
choisir $f_r$ de plus petit degré possible parmi les éléments de $I$
non dans $(f_0,\ldots,f_{r-1})$.

Appelons $c_i$ le coefficient dominant de $f_i$.  Comme $k$ est
supposé noethérien, il existe $m$ tel que $c_0,\ldots,c_{m-1}$
engendrent l'idéal $J$ engendré par tous les $c_i$.  Montrons qu'en
fait $f_0,\ldots,f_{m-1}$ engendrent $I$ (ce qui constitue une
contradiction).

On peut écrire $c_m = a_0 c_0 + \cdots + a_{m-1} c_{m-1}$.  Par
ailleurs, le degré de $f_m$ est supérieur ou égal au degré de chacun
de $f_0,\ldots,f_{m-1}$ par minimalité de ces derniers.  On peut donc
construire le polynôme $g = \sum_{i=0}^{m-1} a_i f_i t^{\deg f_m -
  \deg f_i}$, qui a les mêmes degré et coefficient dominant que $f_m$,
et qui appartient à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$.  Alors, $f_m - g$ est de
degré strictement plus petit que $f_m$, il appartient à $I$ mais pas
à $(f_0,\ldots,f_{m-1})$ : ceci contredit la minimalité dans le choix
de $f_m$.
\end{proof}

\begin{cor}\label{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}
Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
noethérien.  Alors l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
indéterminées sur $k$ est un anneau noethérien.
\end{cor}
\begin{proof}
La proposition précédente montre que si $k$ est noethérien alors
$k[t]$ est noethérien, et une récurrence immédiate montre que
$k[t_1,\ldots,t_n]$ est noethérien.
\end{proof}

\thingy\label{subalgebra-generated} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$ sont des
éléments d'une $k$-algèbre $A$, l'intersection de toutes les
sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est une sous-$k$-algèbre
et s'appelle la \hbox{(sous-)}$k$-algèbre \defin[engendrée
  (algèbre)]{engendrée} par les $x_i$ : c'est l'ensemble de tous les
éléments de $A$ qui peuvent être obtenus à partir de $1$ et des $x_i$
par sommes, produits par éléments de $k$ et produits binaires ; de
façon plus simple, c'est l'ensemble des toutes les expressions
polynomiales sur $k$ en les $x_i$, c'est-à-dire des valeurs
$f(x_{i_1},\ldots,x_{i_n})$ avec $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$ (un polynôme
en $n$ indéterminées sur $k$) et $i_1,\ldots,i_n \in \Lambda$.

Lorsque $\Lambda$ est fini : la sous-$k$-algèbre engendrée par
$x_1,\ldots,x_n$ est l'ensemble des toutes les valeurs
$f(x_1,\ldots,x_n)$ où $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$ est un polynôme à
coefficients dans $k$ ; on pourra noter $k[x_1,\ldots,x_n]$
(cf. l'avertissement ci-dessous) cette sous-algèbre ; une telle
sous-algèbre (engendrée par un nombre fini d'éléments) est dite de
\defin[type fini (algèbre)]{de type fini} (en tant que $k$-algèbre).
Autrement dit, une $k$-algèbre $A$ est dite de type fini lorsqu'il
existe $x_1,\ldots,x_n \in A$ (en nombre fini) tels que tout élément
de $A$ s'écrive de la forme $f(x_1,\ldots,x_n)$ pour un certain
polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_n]$.

\danger On prendra garde au fait que la même notation
$k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée
par $x_1,\ldots,x_n$ dans une $k$-algèbre $A$ plus grande, soit
l'anneau des polynômes à $n$ indéterminées $x_1,\ldots,x_n$ sur $k$.
Ces conventions sont cependant cohérentes en ce sens que l'anneau des
polynômes à $n$ indéterminées sur $k$ est bien la $k$-algèbre
engendrée par les indéterminées (cf. le point suivant).  Il faut donc
prendre garde à ce que sont $x_1,\ldots,x_n$ quand cette notation
apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas
été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce
sont des indéterminées.

\thingy\label{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}
Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe
$x_1,\ldots,x_n \in A$ tels que le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$
(de la $k$-algèbre $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$
indéterminées vers $A$), dit morphisme d'évaluation, qui à $f$ associe
$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}.  Or on rappelle
(cf. \ref{review-of-canonical-factorization}) qu'un morphisme
d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet d'identifier l'image
$A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau de $\psi$.  Donc
toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la forme du quotient
$k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ par
un idéal de ce dernier ; réciproquement, un tel quotient est
visiblement de type fini (il est engendré par les classes modulo $I$
des indéterminées).

En résumé, on peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini est la
même chose qu'un quotient d'un anneau de polynômes (en un nombre fini
d'indéterminées).

En rassemblant ce fait avec
\ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials} et avec le fait qu'un
quotient d'un anneau noethérien est noethérien, on obtient :

\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian}
Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau
noethérien.  Alors toute $k$-algèbre de type fini est un anneau
noethérien.
\end{cor}


%
\subsection{Localisation}\label{subsection-localization}

\thingy\label{multiplicative-set} On dit qu'une partie $S$ d'un anneau
$A$ est \defin[multiplicative (partie)]{multiplicative} lorsque $1\in
S$ et qu'on a $ss'\in S$ dès que $s,s'\in S$.

On notera les deux exemples suivants de parties multiplicatives :
\begin{itemize}
\item Si $f_1,\ldots,f_n \in A$, alors l'ensemble $\{f_1^{i_1}\cdots
  f_n^{i_n} : i_1,\ldots,i_n \in \mathbb{N}\}$ des monômes
  en $f_1,\ldots,f_n$ (où on convient que tout élément élevé à la
  puissance $0$ vaut $1$) est une partie multiplicative : c'est la
  plus petite partie multiplicative contenant $f_1,\ldots,f_n$, dite
  aussi partie multiplicative \emph{engendrée} par $f_1,\ldots,f_n$.
\item Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $A$
  (cf. \ref{integral-domains-and-prime-ideals}), alors son
  complémentaire $A\setminus\mathfrak{p}$ est une partie
  multiplicative.  En particulier, si $A$ est un anneau intègre,
  l'ensemble $A \setminus\{0\}$ des éléments non nuls de $A$ est une
  partie multiplicative.
\end{itemize}

\thingy Donnée une partie multiplicative $S$ dans un anneau $A$, on
souhaite maintenant fabriquer un anneau qu'on notera $A[S^{-1}]$ où
les éléments de $S$ sont rendus inversibles (la logique d'exiger que
$S$ soit multiplicative est que, si $s$ et $s'$ sont inversibles,
forcément $ss'$ le sera).  On va voir les éléments de $A[S^{-1}]$
comme des fractions $a/s$ avec $a\in A$ et $s\in S$, mais il faut se
demander à quelle condition on veut poser $a_1/s_1 = a_2/s_2$ : c'est
certainement le cas si $a_2 s_1 - a_1 s_2 = 0$, mais il s'avère que
cette condition ne suffit pas (elle ne définit pas une relation
d'équivalence en général), et certainement s'il existe $t\in S$ et
$c\in A$ tels que $tc = 0$, on va vouloir que $c$ devienne nul
dans $A[S^{-1}]$ : c'est ce qui motive l'apparition de $t$ dans la
définition suivante.

\thingy Lorsque $S$ est une partie multiplicative, on définit un
anneau noté $A[S^{-1}]$ (ou $S^{-1}A$) de la façon suivante :
\begin{itemize}
\item Les éléments de $A[S^{-1}]$ sont notés $a/s$ avec $a\in A$ et $s
  \in S$, où on identifie $a_1/s_1 = a_2/s_2$ lorsqu'il existe $t \in
  S$ tel que $t(a_2 s_1 - a_1 s_2) = 0$.  Plus exactement, cela
  signifie qu'on considère la relation d'équivalence $\sim$ sur
  $A\times S$ définie par $(a_1,s_1) \sim (a_2,s_2)$ lorsqu'il existe
  $t \in S$ tel que $t(a_2 s_1 - a_1 s_2) = 0$, on appelle $A[S^{-1}]$
  l'ensemble $(A\times S)/\sim$ des classes d'équivalences, et on note
  $a/s$ la classe de $(a,s)$ pour cette relation.
\item L'addition est définie par $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ (le
  zéro par $0/1$, l'opposé par $-(a/s) = (-a)/s$) et la multiplication
  par $(a/s)\cdot (a'/s') = (aa')/(ss')$ (l'unité par $1/1$).
\end{itemize}

Il faut vérifier que la relation $\sim$ est bien une relation
d'équivalence, que les opérations sont bien définies (c'est-à-dire ne
dépendent pas des représentants choisis des classes pour $\sim$), et
qu'on obtient bien ainsi un anneau.  Nous omettons les calculs un peu
fastidieux, mais à titre d'exemple, vérifions que l'addition est bien
définie : pour que l'écriture $(a/s)+(a'/s') = (a's+as')/(ss')$ ait un
sens, elle ne doit pas dépendre des représentants $a/s$ et $a'/s'$
choisis des éléments à ajouter, c'est-à-dire qu'on doit vérifier que
si $(a_1,s_1) \sim (a_2,s_2)$, et si $(a'_1,s'_1) \sim (a'_2,s'_2)$,
alors on a $(a'_1 s_1 + a_1 s'_1, s_1 s'_1) \sim (a'_2 s_2 + a_2 s'_2,
s_2 s'_2)$ ; mais par hypothèse, il existe donc $t$ tel que $t(a_2 s_1
- a_1 s_2) = 0$ et $t'$ tel que $t'(a'_2 s'_1 - a'_1 s'_2) = 0$, et en
multipliant la première égalité par $t' s'_1 s'_2$, la seconde par $t
s_1 s_2$ et en les ajoutant, on obtient $t t' (s_1 s'_1 (a'_2 s_2 +
a_2 s'_2) - s_2 s'_2 (a'_1 s_1 + a_1 s'_1)) = 0$, ce qui donne bien
$(a'_1 s_1 + a_1 s'_1, s_1 s'_1) \sim (a'_2 s_2 + a_2 s'_2, s_2 s'_2)$
comme annoncé.

On a de plus un morphisme d'anneaux $A \to A[S^{-1}]$ envoyant $a \in
A$ sur $a/1$ qu'on peut appeler morphisme « naturel » ou
« canonique » dans ce contexte.

L'anneau $A[S^{-1}]$ ainsi défini (muni du morphisme $A \to
A[S^{-1}]$, donc vu comme $A$-algèbre si on le souhaite) s'appelle la
\defin{localisation}\index{localisé|see{localisation}} (ou le
localisé) de $A$ inversant la partie multiplicative $S$.

\thingy On prendra garde au fait que le morphisme naturel $A \to
A[S^{-1}]$ n'est pas forcément injectif (c'est-à-dire qu'on peut avoir
$a/1 = 0$ dans $A[S^{-1}]$ sans que $a$ soit nul dans $A$).  En fait,
il est injectif si et seulement si tout élément de $S$ est régulier
(cf. \ref{regular-and-invertible-elements}) : en effet, le fait que $t
\in S$ soit un diviseur de zéro signifie que $ta=0$ pour un certain
$a\neq 0$, ce qui s'écrit aussi $t(a-0) = 0$, témoignant que $(a,1)
\sim (0,1)$.  Le cas le plus extrême est celui où $S$ contient $0$, et
alors $A[S^{-1}]$ est l'anneau nul.

Lorsque $S$ ne contient que des éléments réguliers, la définition de
$A[S^{-1}]$ est légèrement simplifiée puisqu'on a $a_1/s_1 = a_2/s_2$
si et seulement si $a_2 s_1 - a_1 s_2 = 0$.

\thingy\label{special-cases-of-localization} Conformément aux exemples
donnés en \ref{multiplicative-set}, les cas particuliers suivants sont
importants :

Si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier et $S = A\setminus\mathfrak{p}$
est son com\-plé\-men\-taire, on note $A_{\mathfrak{p}} = A[S^{-1}]$ ;
c'est un anneau local (dont l'idéal maximal est $\mathfrak{p}[S^{-1}]
= \{a/s : a\in \mathfrak{p}, s \not\in \mathfrak{p}\}$) : on l'appelle
le localisé\index{localisation} de $A$ \textbf{en} $\mathfrak{p}$.

De façon encore plus particulière, si $A$ est un anneau intègre et $S
= A \setminus\{0\}$ l'ensemble des éléments non nuls de $A$, on note
$\Frac(A) = A[S^{-1}]$ : c'est un corps, appelé \defin{corps des
  fractions} de $A$.  Par exemple, $\Frac(\mathbb{Z}) = \mathbb{Q}$ et
$\Frac(k[t]) = k(t)$ pour $k$ un corps.

Si $f_1,\ldots,f_n \in A$ et si $S = \{f_1^{i_1}\cdots f_n^{i_n} :
i_1,\ldots,i_n \in \mathbb{N}\}$ est la partie multiplicative qu'ils
engendrent, la localisé $A[S^{-1}]$ se note aussi
$A[f_1^{-1},\ldots,f_n^{-1}]$.  En fait, seul le cas $n=1$ est
vraiment intéressant car on a $A[f_1^{-1},\ldots,f_n^{-1}] \cong
A[h^{-1}]$ où $h = f_1\cdots f_n$ (l'isomorphisme envoie $a/(f_1^{i_1}
\cdots f_n^{i_n})$ sur $(a f_1^{i-i_1}\cdots f_n^{i-i_n})/h^i$ où $i =
\max(i_1,\ldots,i_n)$).  Ce cas peut se décrire explicitement d'une
autre manière :

\begin{prop}\label{localization-inverting-one-element}
Si $A$ est un anneau et $f \in A$, alors l'anneau quotient
$A[t]/(tf-1)$ (de l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée
par son idéal engendré par $tf-1$) est isomorphe à $A[f^{-1}]$.

Plus précisément, un isomorphisme $\varphi\colon A[t]/(tf-1) \to
A[f^{-1}]$ s'obtient en envoyant la classe (modulo $tf-1$) d'un $g \in
A[t]$ sur $g(1/f)$ (évaluation de $g$ en l'élément $1/f$
de $A[f^{-1}]$), et sa réciproque $\psi\colon A[f^{-1}] \to
A[t]/(tf-1)$ envoye $a/f^i$ sur la classe de $at^i$ (modulo $tf-1$).
\end{prop}
\begin{proof}
Le morphisme d'évaluation $A[t] \to A[f^{-1}]$ qui envoie un polynôme
$g \in A[t]$ sur son évaluation $g(1/f)$ en $1/f$ envoie $tf-1$
sur $0$ (puisque $1/f$ est l'inverse de $f$ dans $A[f^{-1}]$) :
autrement dit, $tf-1$ est dans le noyau de ce morphisme d'évaluation,
et on en déduit un morphisme d'anneaux $\varphi\colon A[t]/(tf-1) \to
A[f^{-1}]$ comme décrit.  Il reste à vérifier que c'est un
isomorphisme, et que sa réciproque est celle qui a été décrite.

Tout élément de $A[f^{-1}]$ est (par définition) de la forme $a/f^i$
pour un certain $i\in\mathbb{N}$ : c'est-à-dire qu'il s'écrit
$\varphi(a\bar t^i)$ (en notant $\bar t$ la classe de $t$
modulo $tf-1$).  Ceci montre déjà la surjectivité de $\varphi$.

Montrons l'injectivité : pour cela, observons que $\bar t f = 1$ dans
$A[t]/(tf-1)$, donc $f$ y est inversible d'inverse $\bar t$.  Si $g =
c_0 + c_1 t + \cdots + c_n t^n \in A[t]$ vérifie $g(1/f) = 0$,
c'est-à-dire $c_0 + c_1 (1/f) + \cdots + c_n (1/f)^n = 0$ dans
$A[f^{-1}]$, ceci se réécrit $(c_0 f^n + c_1 f^{n-1} + \cdots +
c_n)/f^n = 0$ dans $A[f^{-1}]$, soit, par définition de $A[f^{-1}]$,
qu'il existe un $j \in\mathbb{N}$ tel que $c_0 f^{n+j} + c_1 f^{n+j-1}
+ \cdots + c_n f^j = 0$ dans $A$, et en particulier cette égalité vaut
dans $A[t]/(tf-1)$, mais en multipliant par $(\bar t)^{n+j}$ et en se
rappelant que $\bar t$ est l'inverse de $f$, on a $c_0 + c_1 \bar t +
\cdots + c_n \bar t^n = 0$, si bien que la classe $\bar g = g(\bar t)$
de $g$ (modulo $tf-1$) est nulle : on a bien montré l'injectivité
de $\varphi$.

On sait maintenant que $\varphi$ est un isomorphisme d'anneaux.  Comme
$\varphi(a\bar t^i) = a/f^i$, la réciproque de $\varphi$ envoie
$a/f^i$ sur la classe $a\bar t^i$ de $at^i$ modulo $tf-1$, c'est donc
bien l'application $\psi$ décrite (et en particulier, celle-ci est un
morphisme d'anneaux).
\end{proof}

\thingy\label{localizations-of-integral-domain} Lorsque $A$ est un
anneau \emph{intègre} (cf. \ref{integral-domains-and-prime-ideals}),
tout localisé $A[S^{-1}]$ avec $0\not\in S$ peut se décrire comme un
sous-anneau du corps des fractions $\Frac(A)$, à savoir celui engendré
par $A$ et les inverses (dans $\Frac(A)$) des éléments de $S$, donc
concrètement l'ensemble des quotients $a/f$ où $a\in A$ et $f\in S$
(interprétés comme des vrais quotients dans le corps $\Frac(A)$).


%
\subsection{Anneaux factoriels et lemme de Gauß}

\thingy Un élément $p$ d'un anneau intègre $A$ est dit
\defin[irréductible (élément)]{irréductible} lorsque pour toute
écriture de $p$ comme un produit $p = fg$ de deux éléments de $A$,
exactement un des deux facteurs $f,g$ est une unité (c'est-à-dire, est
inversible).  Par convention, ni $0$ ni les unités ne sont considérés
comme irréductibles ; en revanche, le produit d'un irréductible par
une unité est encore un irréductible.

Dans le cas de $\mathbb{Z}$, les éléments irréductibles sont les
nombres premiers et leurs inverses ; dans le cas de
$k[t_1,\ldots,t_d]$, on obtient la notion usuelle de polynôme
irréductible.

\thingy On dit qu'un anneau intègre $A$ est \defin[factoriel
  (anneau)]{factoriel} lorsque tout élément non-nul s'écrit comme
produit d'une unité et d'éléments irréductibles, et que de plus cette
décomposition en facteurs irréductibles est unique au sens où on peut
toujours passer entre deux telles écritures quitte à permuter l'ordre
des facteurs et à les multiplier par des unités de $A$.  Autrement
dit : (1) pour tout $a\in A$ non nul, il existe $u$ une unité et
$p_1,\ldots,p_r$ irréductibles tels que $a = u p_1\cdots p_r$, et
(2) si $p_1,\ldots,p_r$ et $q_1,\ldots,q_s$ sont irréductibles et
$q_1\cdots q_s = u p_1\cdots p_r$ avec $u$ une unité, alors $s=r$ et
il existe une permutation
$\sigma\colon\{1,\ldots,r\}\to\{1,\ldots,r\}$ telle que $q_{\sigma(i)}
= u_i p_i$ avec $u_i$ une unité.

L'anneau $\mathbb{Z}$ est factoriel : c'est l'affirmation standard sur
l'existence et l'unicité de la décomposition en facteurs premiers.
Comme on va le signaler en \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}
ci-dessous, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des polynômes en $d$
indéterminées sur un corps $k$ est lui aussi factoriel.  On peut par
ailleurs montrer que la localisation $A[S^{-1}]$ d'un anneau factoriel
est encore factorielle (lorsque $0\neq S$).

\thingy\label{irreducible-elements-and-prime-ideals} Si $p$ est un
élément irréductible d'un anneau factoriel $A$, alors, lorsque $p$
divise un produit $fg$, il divise forcément l'un des facteurs $f,g$
(en effet, $p$ apparaît dans la décomposition en facteurs
irréductibles de $fg$, qui par unicité s'obtient en regroupant celle
de $f$ et celle de $g$, donc $p$ divise l'un de ces deux éléments).
Autrement dit, on a montré que l'idéal $(p)$ est un idéal premier.

Réciproquement, si $(p)$ est un idéal premier non nul dans un anneau
factoriel $A$, alors $p$ est irréductible (en effet, si $p$ était
produit d'au moins deux irréductibles, aucun de ces irréductibles ne
serait un multiple de $p$ mais leur produit le serait).

(Un élément $p \neq 0$ d'un anneau intègre tel que l'idéal $(p)$ soit
premier est parfois dit « premier » : dans un anneau intègre
quelconque, ceci implique toujours « irréductible », mais la
réciproque ne vaut pas en général.  On peut montrer qu'un anneau
intègre est factoriel si et seulement si tout élément non nul admet
une factorisation comme produit d'une unité et d'éléments premiers.)

\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Concernant les anneaux de
polynômes, on a le \defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} suivant : si
$A$ est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors
l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est
factoriel ; et par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible
(dans $A[t]$) si et seulement si $f$ est constant et irréductible
dans $A$, \emph{ou bien} $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$}
et le pgcd (dans $A$) des coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$
est \defin[primitif (polynôme)]{primitif} lorsque cette dernière
condition est vérifiée).

Le point-clé dans la démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$
des coefficients d'un polynôme dans $A[t]$, aussi appelé
\defin{contenu} de $f$, est multiplicatif (i.e., $c(fg) =
c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en facteurs irréductibles dans $A[t]$
d'un élément de $A[t]$ s'obtient alors à partir de celle de $K[t]$ et
de celle dans $A$ du contenu.

On en déduit que pour tout $d$, l'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]$ des
polynômes en $d$ indéterminées sur un corps $k$ est un anneau
factoriel ; et de plus, qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d,z]$ (en
$d+1$ indéterminées) irréductible et faisant effectivement
intervenir $t$ est encore irréductible dans $k(t_1,\ldots,t_d)[t]$, et
réciproquement, qu'un polynôme irréductible dans
$k(t_1,\ldots,t_d)[t]$ donne un polynôme irréductible dans
$k[t_1,\ldots,t_d,t]$ quitte à multiplier par le pgcd des
dénominateurs.

On retient par ailleurs de \ref{irreducible-elements-and-prime-ideals}
qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ non-nul est irréductible si
et seulement si l'idéal $(f)$ qu'il engendre est premier.


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\section{Variétés algébriques affines sur un corps algé\-bri\-que\-ment clos}

\thingy Dans cette section, sauf précision expresse du contraire, $k$
sera un corps algébriquement clos.

On notera $\mathbb{A}^d(k) = k^d$ l'ensemble des $d$-uplets à
coordonnées dans $k$.  On l'appelle \index{affine (espace)|see{espace
    affine}}\defin[espace affine]{espace affine de dimension $d$}
sur $k$ (on parle de droite ou plan affine lorsque $d=1,2$).  Si $k$
est clair d'après le contexte, il sera aussi parfois noté
$\mathbb{A}^d$.

Si $x = (x_1,\ldots,x_d) \in \mathbb{A}^d(k)$ et si $f \in
k[t_1,\ldots,t_d]$ est un polynôme en autant de variables, on notera
simplement $f(x)$ (l'évaluation de $f$ en $x$) pour
$f(x_1,\ldots,x_d)$.  On dit que $x$ est un zéro de $f$ lorsque $f(x)
= 0$.

%
\subsection{Correspondance entre fermés de Zariski et idéaux}\label{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals}

\textbf{Comment associer une partie de $k^d$ à un idéal de
  $k[t_1,\ldots,t_d]$ ?}

\thingy Si $\mathscr{F}$ est une partie de $k[t_1,\ldots,t_d]$, on
définit un ensemble $Z(\mathscr{F}) = \{(x_1,\ldots,x_d) \in k^d
:\penalty0 (\forall f\in \mathscr{F})\, f(x_1,\ldots,x_d) = 0\}$,
autrement dit, l'ensemble des zéros communs à tous les éléments
de $\mathscr{F}$.

Lorsque $\mathscr{F}$ est un ensemble fini $\{f_1,\ldots,f_r\}$, on
note simplement $Z(f_1,\ldots,f_r)$ cet ensemble de zéros communs à
$f_1,\ldots,f_r$.

\thingy\label{trivial-remarks-on-z} Remarques évidentes : si
$\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq
Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est dite « décroissante pour
l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) = \bigcap_{f\in \mathscr{F}}
Z(f)$.

Si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$
(cf. \ref{ideal-generated-by-elements}) alors $Z(I) = Z(\mathscr{F})$
(car si tous les éléments de $\mathscr{F}$ s'annulent en $x$, alors
toute combinaison linéaire de tels éléments s'y annule aussi).  S'il
s'agit d'étudier les $Z(\mathscr{F})$, on peut donc se contenter de
regarder les $Z(I)$ avec $I$ idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$.

Mieux : si $\surd I = \{f : (\exists n)\,f^n\in I\}$ désigne le
radical de l'idéal $I$ (cf. \ref{radical-of-an-ideal}), on a $Z(\surd
I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en $x$ alors $f$ s'y annule aussi).
On peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal
radical.

\thingy On appellera \defin{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou
\defin{variété algébrique affine} sur $k$, une partie $E$ de la forme
$Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il
s'agit d'un idéal radical.

\thingy\label{basic-facts-on-zariski-closed-sets} Le vide est un fermé
de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble $k^d$ tout entier est
un fermé de Zariski ($Z(0) = k^d$).

Tout singleton est un fermé de Zariski : en effet, $Z(\mathfrak{m}_x)
= \{x\}$, où $\mathfrak{m}_x$ est l'idéal $(t_1-x_1,\ldots,t_d-x_d)$ ;
on remarquera au passage que $\mathfrak{m}_x$ est un idéal maximal, le
quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}_x$ s'identifiant à $k$ par la
fonction $f \mapsto f(x)$ d'évaluation en $x$.

Si $(E_i)_{i\in \Lambda}$ sont des fermés de Zariski, alors
$\bigcap_{i\in \Lambda} E_i$ est un fermé de Zariski : plus
précisément, si $(I_i)_{i\in \Lambda}$ sont des idéaux
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(\sum_{i\in\Lambda} I_i) =
\bigcap_{i\in\Lambda} Z(I_i)$ (où $\sum_{i\in\Lambda} I_i$ désigne
l'idéal engendré par $\bigcup_{i\in\Lambda} I_i$).

Si $E,E'$ sont des fermés de Zariski, alors $E \cup E'$ est un fermé
de Zariski : plus précisément, si $I,I'$ sont des idéaux
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, alors $Z(I\cap I') = Z(I) \cup Z(I')$
(l'inclusion $\supseteq$ est évidente ; pour l'autre inclusion, si $x
\in Z(I\cap I')$ mais $x \not\in Z(I)$, il existe $f\in I$ tel que
$f(x) \neq 0$, et alors pour tout $f' \in I'$ on a $f(x)\,f'(x) = 0$
puisque $ff' \in I\cap I'$, donc $f'(x) = 0$, ce qui prouve $x \in
Z(I')$).

(Le fait que le vide et le plein soient des fermés de Zariski, que
toute intersection de fermés de Zariski soit un fermé de Zariski, et
que la réunion de deux fermés de Zariski soit un fermé de Zariski
justifie le terme de « fermés », car ce sont là les axiomes demandés
sur les fermés d'un espace topologique.)

\medbreak

\textbf{Comment associer un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ à une partie
  de $k^d$ ?}

\thingy Réciproquement, si $E$ est une partie de $k^d$, on note
$\mathfrak{I}(E) = \{f\in k[t_1,\ldots,t_d] :\penalty0 (\forall
(x_1,\ldots,x_d)\in E)\, f(x_1,\ldots,x_d)=0\}$ l'ensemble des
polynômes s'annulant en tous les points de $E$.

Il est clair c'est un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$, et même un idéal
radical.

\thingy Remarque évidente : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E)
\supseteq \mathfrak{I}(E')$ ; on a $\mathfrak{I}(E) = \bigcap_{x\in E}
\mathfrak{m}_x$ (où $\mathfrak{m}_x$ désigne l'idéal maximal
$\mathfrak{I}(\{x\})$ des polynômes s'annulant en $x$), et en
particulier $\mathfrak{I}(E) \neq k[t_1,\ldots,t_d]$ dès que $E \neq
\varnothing$.

On a de façon triviale $\mathfrak{I}(\varnothing) =
k[t_1,\ldots,t_d]$.

\medbreak

\textbf{Le rapport entre ces deux fonctions}

\thingy\label{trivial-inclusions-between-z-and-i} On a $E \subseteq
Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F} \subseteq \mathfrak{I}(E)$, puisque
les deux signifient « tout polynôme dans $\mathscr{F}$ s'annule en
tout point de $E$ ».  Appelons ($*$) cette équivalence.

En particulier, en appliquant ($*$) à $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$,
on voit que $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$ pour toute partie $E$
de $k^d$ : appelons ($\dagger$) cette observation.  En appliquant
($*$) à $E = Z(\mathscr{F})$, on a $\mathscr{F} \subseteq
\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$ : appelons ($\ddagger$) cette
observation.

Comme $\mathfrak{I}$ est décroissante pour l'inclusion, de
l'observation ($\dagger$) que $E \subseteq Z(\mathfrak{I}(E))$, on
déduit $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$.
Mais par ailleurs, en appliquant l'observation ($\ddagger$) que
$\mathscr{F} \subseteq \mathfrak{I}(Z(\mathscr{F}))$ à $\mathscr{F} =
\mathfrak{I}(E)$, on en déduit $\mathfrak{I}(E) \subseteq
\mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$.  On a donc montré $\mathfrak{I}(E)
= \mathfrak{I}(Z(\mathfrak{I}(E)))$ pour toute partie $E$ de $k^d$.
De même (le raisonnement étant complètement symétrique entre $Z$
et $\mathfrak{I}$), on a $Z(\mathscr{F}) =
Z(\mathfrak{I}(Z(\mathscr{F})))$ pour tout ensemble $\mathscr{F}$ de
polynômes.

On a donc prouvé :

\begin{prop}\label{basic-result-on-z-and-i}
Avec les notations ci-dessus :
\begin{itemize}
\item Les parties $E$ de $k^d$ vérifiant $E = Z(\mathfrak{I}(E))$ sont
  exactement celles de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour un
  certain $\mathscr{F}$, c'est-à-dire les fermés de Zariski, et dans
  ce cas on peut prendre $\mathscr{F} = \mathfrak{I}(E)$, qui est un
  idéal radical.
\item Les parties $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ vérifiant $I =
  \mathfrak{I}(Z(I))$ sont exactement celles de la forme
  $\mathfrak{I}(E)$ pour un certain $E$, et dans ce cas on peut
  prendre $E = Z(I)$, et $I$ est un idéal radical
  de $k[t_1,\ldots,t_d]$.
\item Les fonctions $\mathfrak{I}$ et $Z$ se restreignent en des
  bijections réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre
  l'ensemble des fermés de Zariski $E$ de $k^d$ et l'ensemble des
  idéaux (forcément radicaux) $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $I =
  \mathfrak{I}(Z(I))$.
\end{itemize}
\end{prop}

\thingy Le résultat ci-dessus est complètement formel : on n'a fait
aucun usage de l'hypothèse que $k$ est algébriquement clos, on n'a
essentiellement utilisé que le fait que $Z$ et $\mathfrak{I}$ sont
décroissantes et qu'on a $E \subseteq Z(\mathscr{F})$ ssi $\mathscr{F}
\subseteq \mathfrak{I}(E)$.

La caractérisation ci-dessus a ceci d'insatisfaisant qu'on n'a pas
caractérisé quels idéaux radicaux $I$ vérifient $I =
\mathfrak{I}(Z(I))$.  On va voir ci-dessous que c'est le cas de tous
les idéaux radicaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$, mais à la différence de la
proposition qu'on vient de voir, c'est un résultat qui a un vrai
contenu mathématique.

%
\subsection{Le Nullstellensatz}\label{subsection-nullstellensatz}

\thingy De l'allemand « der Satz » = la phrase, le théorème
mathématique, « die Stelle » = l'endroit, et « die Nullstelle » = le
lieu d'annulation, le zéro d'un polynôme : le
« \defin{Nullstellensatz} », littéralement, « théorème du lieu
d'annulation », s'appelle aussi « théorème des zéros de Hilbert ».

On rappelle que $k$ est supposé algébriquement clos (hypothèse qui n'a
pas servi jusqu'à présent).

Il existe plusieurs formulations du Nullstellensatz, qu'on peut
déduire les unes les autres.  Formulons d'abord celle qui caractérise
les idéaux \emph{maximaux} de $k[t_1,\ldots,t_d]$ : on rappelle qu'on
a déjà introduit (cf. \ref{basic-facts-on-zariski-closed-sets}) la
notation $\mathfrak{m}_x := \mathfrak{I}(x)$ si $x \in k^d$ (idéal
associé à un \emph{singleton}) pour l'ensemble des polynômes
s'annulant en $x$, que c'est un idéal maximal, et qu'il est engendré
par $t_1 - x_1,\ldots,t_d - x_d$ si $x = (x_1,\ldots,x_d)$ ; la
proposition suivante affirme que, lorsque $k$ est algébriquement clos,
ce sont les seuls idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$.

\begin{prop}[{idéaux maximaux de $k[t_1,\ldots,t_d]$}]\label{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}
Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Tout idéal maximal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ est de la forme $\mathfrak{m}_x := \{f : f(x) =
0\}$ pour un certain $x \in k^d$.
\end{prop}

Ce fait est vrai en général, mais on ne donnera une démonstration que
dans le cas particulier où $k$ est indénombrable (il s'agit d'une
astuce qui simplifie la démonstration).

\begin{proof}[Démonstration dans le cas particulier où $k$ est indénombrable.]
Soit $\mathfrak{M}$ un idéal maximal de $k[t_1,\ldots,t_d]$.  On va
montrer que $\mathfrak{M}$ est de la forme $\mathfrak{m}_x$ pour un
certain $x \in k^d$.  Pour cela, on montre d'abord $Z(\mathfrak{M})
\neq \varnothing$.

Soit $K = k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{M}$.  Il s'agit d'un corps
(puisque $\mathfrak{M}$ est maximal).  Il est de dimension au plus
dénombrable en tant que $k$-espace vectoriel, c'est-à-dire qu'il a une
famille génératrice dénombrable, à savoir les images des monômes en
les $t_i$.  Si $K$ contenait un élément transcendant $\tau$ sur $k$,
le corps $k(\tau)$ qu'il engendre s'identifierait au corps des
fractions rationnelles en une indéterminée, et par décomposition des
fractions rationnelles en éléments simples, la famille des
$\frac{1}{\tau - x}$ pour $x$ parcourant $k$ serait linéairement
indépendante sur $k$ ; mais cette famille est indénombrable puisque
$k$ a supposé l'être : on aurait donc une famille linéairement
indépendate (sur $k$) dans $k(\tau)$, donc dans $K$, ce qui contredit
le fait que la dimension de ce dernier est au plus dénombrable.  Bref,
il est impossible que $K$ contienne un transcendant sur $k$ : c'est
donc que $K$ est algébrique sur $k$.  Comme $k$ était supposé
algébriquement clos, on a en fait $K = k$ (au sens où le morphisme $k
\to K$ envoyant un élément sur de $k$ la classe du polynôme constant
modulo $\mathfrak{M}$ est un isomorphisme).  Les classes des
indéterminées $t_1,\ldots,t_d$ définissent donc des éléments
$x_1,\ldots,x_d \in k$, et pour tout $f \in \mathfrak{M}$, on a
$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$.  Autrement dit, $x := (x_1,\ldots,x_d) \in
Z(\mathfrak{M})$, ce qui montre $Z(\mathfrak{M}) \neq \varnothing$.

Mais dès lors qu'on a montré qu'il existe $x \in Z(\mathfrak{M})$, on
a $\mathfrak{M} \subseteq \mathfrak{m}_x$
(cf. \ref{trivial-inclusions-between-z-and-i}($*$)), et comme
$\mathfrak{M}$ est maximal, c'est que $\mathfrak{M} = \mathfrak{m}_x$,
comme annoncé.
\end{proof}

\begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz}\index{Nullstellensatz}
Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Si $I$ est un idéal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ tel que $Z(I) = \varnothing$, alors $I =
k[t_1,\ldots,t_d]$.
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons par contraposée $I \subsetneq k[t_1,\ldots,t_d]$.  Alors il
existe un idéal maximal $\mathfrak{M}$ tel que $I \subseteq
\mathfrak{M}$, et la
proposition \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras} montre que
$\mathfrak{M} = \mathfrak{m}_x$ pour un certain $x\in k^d$, ce qui
implique $Z(I) \supseteq Z(\mathfrak{m}_x) = \{x\}$, et notamment
$Z(I) \neq \varnothing$.
\end{proof}

On peut aussi reformuler ce résultat de la façon suivante : remarquons
au préalable que si $f_1,\ldots,f_r$ et $g_1,\ldots,g_r$ sont des
polynômes en $d$ variables tels que $g_1 f_1 + \cdots + g_r f_r = 1$,
alors $f_1,\ldots,f_r$ n'ont aucun zéro commun (car en un tel zéro le
membre de gauche de l'égalité s'annulerait, mais le membre de droite y
vaut $1$).

\begin{prop}[Nullstellensatz faible]\label{weak-nullstellensatz-finite-rewording}
Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Si $f_1,\ldots,f_r \in
k[t_1,\ldots,t_d]$ sont des polynômes en $d$ variables sans zéro
commun, c'est-à-dire si $Z(f_1,\ldots,f_r) = \varnothing$, alors il
existe $g_1,\ldots,g_r \in k[t_1,\ldots,t_d]$ tels que $g_1 f_1 +
\cdots + g_r f_r = 1$, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_r$ engendrent
l'idéal unité.
\end{prop}
\begin{proof}
Soit $I$ l'idéal engendré par $f_1,\ldots,f_r$ : comme $Z(I) =
Z(f_1,\ldots,f_r)$ (cf. \ref{trivial-remarks-on-z}), la
proposition \ref{weak-nullstellensatz} montre que $Z(f_1,\ldots,f_r) =
\varnothing$ implique que $I$ contient $1$, ce qui est bien la
conclusion annoncée.
\end{proof}

Réciproquement, cette formulation permet de retrouver la
formulation \ref{weak-nullstellensatz}, il suffit de se rappeler que
tout idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$ est engendré par un nombre fini
d'éléments (théorème de la base de
Hilbert, \ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials}).

\begin{thm}[Nullstellensatz ou théorème des zéros de Hilbert]\index{Nullstellensatz}
Soit $k$ un corps algé\-bri\-que\-ment clos.  Soit $I$ un idéal de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ : alors $\mathfrak{I}(Z(I)) = \surd I$ (le radical
de $I$).
\end{thm}
\begin{proof}
On sait déjà que $\surd I \subseteq \mathfrak{I}(Z(I))$ et il s'agit
de montrer la réciproque.  Soit $f \in \mathfrak{I}(Z(I))$ : on veut
prouver $f\in \surd I$, autrement dit $f^n \in I$ pour un certain $n$.

Soit $z$ une nouvelle indéterminée, et soit $J$ l'idéal engendré par
$I$ et $zf-1$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]$.  On a $Z(J) = \varnothing$
(dans $k^{d+1}$), car on ne peut pas avoir simultanément
$f(x_1,\ldots,x_d) = 0$ et $z\,f(x_1,\ldots,x_d) = 1$, donc le
Nullstellensatz faible \ref{weak-nullstellensatz} entraîne $J =
k[t_1,\ldots,t_d,z]$.  En réduisant modulo $zf-1$, cela signifie que
l'idéal engendré par $I$ dans $k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$ est l'idéal
unité.

Maintenant considérons l'anneau localisé $k[t_1,\ldots,t_d, f^{-1}]$
(c'est-à-dire, $k[t_1,\ldots,t_d][f^{-1}]$,
cf. \ref{special-cases-of-localization}), et soit $I[f^{-1}]$ l'idéal
engendré par $I$ dans cet anneau.  On a $k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}] =
k[t_1,\ldots,t_d,z]/(zf-1)$
d'après \ref{localization-inverting-one-element}, et le paragraphe
précédent montre donc que $I[f^{-1}]$ est l'idéal unité.
Concrètement, cela signifie que $1 \in k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$
s'écrit comme combinaison linéaire, à coefficients dans
$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$, d'éléments de $I$ ; en mettant les
coefficients en question sous la forme $h/f^i$ où $h \in
k[t_1,\ldots,t_d]$ et où $i \in \mathbb{N}$, et en ramenant tous ces
coefficients sur un même dénominateur $f^n$ (par la définition de
$k[t_1,\ldots,t_d,f^{-1}]$), on voit que finalement on a écrit $f^n$
comme combinaison linéaire, à coefficients dans $k[t_1,\ldots,t_d]$,
d'éléments de $I$ : c'est-à-dire que $f^n \in I$, ce qu'on voulait
prouver.
\end{proof}

\thingy La moralité du Nullstellensatz est que (sur un corps
algébriquement clos !) on peut « essentiellement » retrouver des
équations polynomiales $f_1,\ldots,f_r$ à partir du lieu
$Z(f_1,\ldots,f_r)$ de leurs solutions (le fermé de Zariski qu'elles
définissent) : le « essentiellement » signifie que, à défaut de
retrouver $f_1,\ldots,f_r$ eux-mêmes, on retrouve l'idéal radical
qu'ils engendrent (si $f_1,\ldots,f_r$ engendrent un idéal radical, on
retrouve l'idéal en question).

On peut maintenant utiliser le Nullstellensatz pour
revoir l'énoncé \ref{basic-result-on-z-and-i} :

\begin{scho}
Si $k$ est un corps algébriquement clos, les fonctions $I \mapsto
Z(I)$ et $E \mapsto \mathfrak{I}(E)$ définissent des bijections
réci\-proques, décroissantes pour l'inclusion, entre les idéaux radicaux
de $k[t_1,\ldots,t_d]$ d'une part, et les fermés de Zariski de $k^d$
d'autre part.

Ces bijections mettent les \emph{points} (c'est-à-dire les singletons)
de $k^d$ en correspondance avec les idéaux maximaux de
$k[t_1,\ldots,t_d]$ (ils ont tous pour quotient $k$).
\end{scho}

%
\subsection{Ouverts de Zariski et ouverts relatifs}

\thingy\label{zariski-open-sets} Un \defin{ouvert de Zariski} de $k^d$
est par définition le complémentaire d'un fermé de Zariski.  De façon
équivalente, si on note $D(f) := \{x \in k^d :\penalty0 f(x) \neq
0\}$, un ouvert de Zariski est un ensemble de la forme $D(f_1) \cap
\cdots \cap D(f_r)$ (en effet, tout idéal $I$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$
est engendré par un nombre fini d'éléments $f_1,\ldots,f_r$, et le
complémentaire de $Z(I) = Z(f_1,\ldots,f_r)$ est alors $D(f_1) \cup
\cdots \cup D(f_r)$).  Les $D(f)$ sont parfois appelés \defin[ouvert
  principal]{ouverts principaux}.

Les propriétés vues sur les fermés de Zariski
(cf. \ref{basic-facts-on-zariski-closed-sets}) montrent, par passage
au complémentaire que : (i) $\varnothing$ et $k^d$ sont des ouverts de
Zariski, (ii) une réunion quelconque d'ouverts de Zariski est un
ouvert de Zariski, et (iii) une intersection finie d'ouverts de
Zariski est un ouvert de Zariski.  Ces propriétés sont constitutives
de la notion de « topologie », et on appellera \defin{topologie de
  Zariski} l'ensemble de tous les ouverts de Zariski.

\thingy\label{relative-closed-and-open-sets} Si $X$ est une variété
algébrique affine sur $k$ (= un fermé de Zariski dans $k^d$), on
appelle \defin[fermé de Zariski]{fermé} ou \defin{ouvert de Zariski}
\emph{de $X$} l'intersection de $X$ avec un fermé ou ouvert de Zariski
de $k^d$.  (Cette définition générale porte le nom de \emph{topologie
  induite} sur $X$ par la topologie de Zariski de $k^d$.)

Ainsi, un fermé de Zariski de $X$ est simplement un fermé de Zariski
inclus dans $X$, tandis qu'un ouvert de Zariski de $X$ est un ensemble
de la forme $X \cap (D(f_1) \cup \cdots \cup D(f_r))$.  On parlera
parfois d'ouvert \emph{relatif} dans $X$.

%
\subsection{Fermés irréductibles et idéaux premiers}

\thingy On dit qu'un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ non vide est
\defin[irréductible (fermé)]{irréductible} lorsqu'on ne peut pas
l'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski strictement plus
petits : autrement dit, lorsque $X = X' \cup X''$, où $X',X''$ sont
deux fermés de Zariski (forcément contenus dans $X$), implique $X'=X$
ou $X''=X$.

\emph{Contre-exemple :} $Z(xy)$ (dans le plan $k^2$ de
coordonnées $x,y$) n'est pas ir\-ré\-duc\-tible, car $Z(xy) = \{(x,y)
\in k^2 : xy=0\} = \{(x,y) \in k^2 :
x=0\penalty0\ \textrm{ou}\penalty0\ y=0\} = Z(x) \cup Z(y)$ est
réunion de $Z(x)$ (l'axe des ordonnées) et $Z(y)$ (l'axe des
abscisses) qui sont tous les deux strictement plus petits que $Z(xy)$.
Le problème vient manifestement du fait que le polynôme $xy$ n'est pas
irréductible.  Essayons de préciser les conditions qui font qu'un
fermé de Zariski soit irréductible :

\begin{prop}\label{closed-irreducible-iff-prime-ideal}
Un fermé de Zariski $X \subseteq k^d$ est irréductible si, et
seulement si, l'idéal $\mathfrak{I}(X)$ est premier.
\end{prop}
\begin{proof}
Supposons $\mathfrak{I}(X)$ premier : on veut montrer que $X$ est
irréductible.  Supposons $X = X' \cup X''$ avec $X',X''$ des fermés de
Zariski (on a donc $X = Z(\mathfrak{I}(X))$, $X' =
Z(\mathfrak{I}(X'))$ et $X'' = Z(\mathfrak{I}(X''))$) : on veut
montrer que $X' = X$ ou $X'' = X$.  Supposons le contraire,
c'est-à-dire $\mathfrak{I}(X) \neq \mathfrak{I}(X')$ et
$\mathfrak{I}(X) \neq \mathfrak{I}(X'')$.  Il existe alors $f' \in
\mathfrak{I}(X') \setminus \mathfrak{I}(X)$ et $f'' \in
\mathfrak{I}(X'') \setminus \mathfrak{I}(X)$.  On a alors $f'f''
\not\in \mathfrak{I}(X)$ car $\mathfrak{I}(X)$ est premier, et
pourtant $f'f''$ s'annule sur $X'$ et $X''$ donc sur $X$, une
contradiction.

Réciproquement, supposons $X$ irréductible : on veut montrer que
$\mathfrak{I}(X)$ est premier.  Soient $f',f''$ tels que $f'f'' \in
\mathfrak{I}(X)$ : posons $X' = Z(\mathfrak{I}(X) + (f'))$ et $X'' =
Z(\mathfrak{I}(X) + (f''))$.  On a $X' \subseteq X$ et $X'' \subseteq
X$ puisque $X = Z(\mathfrak{I}(X))$, et en fait $X' = X \cap Z(f')$ et
$X'' = X \cap Z(f'')$ ; on a par ailleurs $X = X' \cup X''$ (car si $x
\in X$ alors $f'(x)\,f''(x) = 0$ donc soit $f'(x)=0$ soit $f''(x)=0$,
et dans le premier cas $x \in X'$ et dans le second $x \in X''$).
Puisqu'on a supposé $X$ irréductible, on a, disons, $X' = X$,
c'est-à-dire $X \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in
\mathfrak{I}(X)$ (cf. \ref{trivial-inclusions-between-z-and-i}($*$)).
Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(X)$ est premier.
\end{proof}

\thingy En combinant le résultat ci-dessus avec le Nullstellensatz, on
voit que (en se rappelant que le corps $k$ est supposé algébriquement
clos !) le fermé $Z(\mathfrak{p})$ est irréductible lorsque
$\mathfrak{p}$ est un idéal premier de $k[t_1,\ldots,t_d]$.

Notamment, on retient de \ref{gauss-lemma-on-irreducibility} que si $f
\in k[t_1,\ldots,t_d]$ est un polynôme irréductible, alors $Z(f) =
\{x\in k^d : f(x) = 0\}$ est un fermé irréductible.  Ceci justifie au
moins partiellement la terminologie.

\thingy La notion de fermé irréductible peut encore se reformuler de
la manière suivante : $X$ est irréductible si et seulement si
lorsqu'un ouvert relatif $U$ de $X$
(cf. \ref{relative-closed-and-open-sets}) est contenu dans un fermé
$F$ de $X$, on a soit $U=\varnothing$ soit $F=X$.  (Pour vérifier
l'équivalence, on pose $U = X\setminus X'$ et $X'' = F$, et alors
$U\subseteq F$ signifie $X'\cup X'' = X$.)

Encore une autre reformulation est la suivante : $X$ est irréductible
si et seulement si deux ouverts relatifs non vides $U,V$ de $X$ se
rencontrent toujours.  (Pour vérifier l'équivalence, on pose $U =
X\setminus X'$ et $V = X\setminus X''$, et alors $U\cap V =
\varnothing$ signifie $X'\cup X'' = X$.)

Autrement dit, \emph{$X$ est irréductible si et seulement si tout
  ouvert non vide est dense} (une partie d'un espace topologique étant
dite « dense » lorsque le seul fermé qui la contient est l'espace tout
entier, ou, de façon équivalente, lorsqu'elle rencontre tout ouvert
non vide).

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\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières}

\thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos.
Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $X =
Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit.  On rappelle que $I =
\mathfrak{I}(X)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme
$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $X$ si et
seulement si il est dans $I$.

Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to
k^X$ (où $k^X$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $X \to
k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction
polynomiale correspondante sur $X$, c'est-à-dire l'application
$\Psi(f)\colon X \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$.  D'après ce qui
vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$.  Par
conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image
de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$.  L'image de $\Psi$ est
par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $X$ : ce qui
vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie
par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$
modulo $I$.

L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulière
  (fonction)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de
Zariski $X$.  Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent
s'identifier aux restrictions à $X$ des fonctions polynomiales
sur $k^d$.  On le notera $\mathcal{O}(X)$.

Il sera important de garder à l'esprit les deux points de vue sur les
fonctions régulières sur $X$ : on peut les voir soit comme des
éléments du quotient $k[t_1,\ldots,t_d]/I$, soit comme des fonctions
$X \to k$ qui sont polynomiales.

\thingy Par construction, $\mathcal{O}(X)$ est une $k$-algèbre de type
fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}),
donc un anneau noethérien
(cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction,
elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal
radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $X$
est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et
elle est un \emph{corps} si et seulement si $X$ est un singleton
(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est
simplement $k$.

\thingy On pourrait refaire une version « relative » des constructions
qui ont été faites sur les polynômes : si $\mathscr{F} \subseteq
\mathcal{O}(X)$ est un ensemble de fonctions régulières sur $X$, on
peut appeler $Z(\mathscr{F})$ l'ensemble de leurs zéros communs, et si
$E \subseteq X$, on peut appeler $\mathfrak{I}_X(E)$ l'ensemble des
fonctions régulières sur $X$ qui s'y annulent (c'est simplement
l'idéal de $\mathcal{O}(X)$ qui correspond à l'idéal $\mathfrak{I}(E)$
de $k[t_1,\ldots,t_d]$, cf. \ref{recollections-on-ideals}) ; alors
essentiellement tout ce qui a été dit dans les sctions
\ref{subsection-zariski-closed-sets-and-ideals}
et \ref{subsection-nullstellensatz} vaut encore \textit{mutatis
  mutandis} : les fonctions $Z$ et $\mathfrak{I}_X$ définissent des
bijections réciproques, décroissantes pour l'inclusion, entre les
idéaux radicaux de $\mathcal{O}(X)$ d'une part, et les fermés de
Zariski de $X$ (cf. \ref{relative-closed-and-open-sets}) d'autre part.
(De plus, si $Y = Z(J)$ est un fermé de Zariski de $X$ défini par un
idéal radical $J$ de $\mathcal{O}(X)$, alors $\mathcal{O}(Y) =
\mathcal{O}(X)/J$, cf. \ref{recollections-on-ideals}.)  Tout ceci est
purement formel, l'intérêt est surtout de se convaincre que les
fonctions régulières se comportent bien comme des polynômes.

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\subsection{L'anneau d'un ouvert relatif : fonctions rationnelles}

\thingy Si $X$ est une variété algébrique affine (= un fermé de
Zariski) et $f \in \mathcal{O}(X)$ une fonction régulière sur $X$, on
a note $D(f) := X \setminus Z(f) = \{x\in X : f(x) \neq 0\}$
l'ensemble des points de $X$, ou \index{ouvert principal}ouvert
principal, où $f$ ne s'annule pas (en relevant $f$ de façon quelconque
à un polynôme $\tilde f\in k[t_1,\ldots,t_d]$, ce $D(f)$ est
simplement $X \cap D(\tilde f)$ où $D(\tilde f)$ est défini de la même
manière sur $k^d$, cf. \ref{zariski-open-sets}).

On définit alors l'\defin[régulière (fonction)]{anneau des fonctions
  régulières} sur $D(f)$ comme le localisé $\mathcal{O}(X)[f^{-1}]$
inversant $f$ de l'anneau $\mathcal{O}(X)$ des fonctions régulières
sur $X$.  Autrement dit (cf. \ref{subsection-localization}), les
fonctions régulières sont $D(f)$ sont définies comme des fractions de
fonctions régulières sur $X$ admettant une puissance de $f$ au
dénominateur.

On peut voir un élément de $\mathcal{O}(X)[f^{-1}]$, disons $g/f^n$ où
$g\in \mathcal{O}(X)$ et $n\in\mathbb{N}$, comme une fonction
sur $D(f)$ : en effet, si $x \in D(f)$, on a $f(x)\neq 0$ par
définition, ce qui permet de donner un sens à $g(x)/f(x)^n$.  (Par
ailleurs, l'identification est légitime car si $g(x)/f(x)^n$ est nul
pour tout $x\in D(f)$ alors $g(x)$ aussi, donc $f(x)\,g(x)$ est nul
pour tout $x\in X$, ce qui signifie que $g/f^n = 0$
dans $\mathcal{O}(X)[f^{-1}]$ par définition de la localisation.)

Concrètement, donc, une fonction régulière sur $D(f)$ est le quotient
d'une fonction régulière sur $X$ (c'est-à-dire la restriction à $X$
d'un polynôme) par une certaine puissance de la fonction $f$
elle-même.

Plus généralement, si $U := D(f_1)\cup \cdots\cup D(f_r)$ est un
ouvert relatif quelconque de $X$, on définit une fonction régulière
sur $U$ comme une fonction $U \to k$ dont la restriction à
chaque $D(f_i)$ est régulière.

Ces définitions sont assez complexes et peu maniables, donc nous
allons considérer le cas beaucoup plus simple où $X$ est irréductible,
c'est-à-dire $\mathcal{O}(X)$ intègre, ce qui permet de traiter les
localisations comme vivant toutes dans le corps des fractions
de $\mathcal{O}(X)$ (cf. \ref{localizations-of-integral-domain}).



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\end{document}