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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2019-01-31 16:50:44 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2019-01-31 16:50:44 (GMT)
commit2c529438ccae4f937aeb001d636b233131fcce77 (patch)
tree42826c943772aba6c75ad276d194ed0fd9d00324
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-rw-r--r--controle-20190205.tex19
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index 18e7e50..5c0d78f 100644
--- a/controle-20190205.tex
+++ b/controle-20190205.tex
@@ -163,7 +163,7 @@ l'automate ainsi obtenu.
$5$ états. La suite de l'exercice dépendant de cette question, on
conseille vérifier très soigneusement que $\mathscr{A}_1$ est correct.
À défaut de donner l'automate de Glushkov ou de Thompson, donner un
-NFA reconnaissant $L$ apportera une partie des points.)
+NFA reconnaissant $L$ pourra apporter une partie des points.)
\begin{corrige}
L'automate $\mathscr{A}_1$ obtenu est le suivant :
@@ -262,7 +262,8 @@ $\mathscr{A}_3$ l'automate canonique ainsi obtenu.
\begin{corrige}
L'algorithme de minimisation identifie les trois états finaux
($0,3,4$) de l'automate $\mathscr{A}_2$, ce qui donne
-l'automate $\mathscr{A}_3$ suivant :
+l'automate $\mathscr{A}_3$ suivant (on note $0$ pour l'état résultant
+de l'identification de $0,3,4$) :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex,line join=bevel,automaton]
\node (S0) at (0bp,0bp) [draw,circle,state,initial,final,accepting below] {$0$};
@@ -440,6 +441,8 @@ d'autre part\\
La grammaire $G$ est donc ambiguë.
\end{corrige}
+\medbreak
+
\emph{Notation :} Si $w \in \Sigma^*$, on notera $|w|_a$ le nombre
total d'occurrences de la lettre $a$ dans le mot $w$, et de façon
analogue $|w|_b$ le nombre total d'occurrences de la lettre $b$ (on a
@@ -447,17 +450,19 @@ bien sûr $|w| = |w|_a + |w|_b$ puisque $\Sigma = \{a,b\}$ ; on a par
ailleurs $|vv'|_a = |v|_a + |v'|_a$ et $|vv'|_b = |v|_b + |v'|_b$ pour
tous mots $v,v' \in \Sigma^*$).
+\medbreak
+
On se propose, dans les quelques questions suivantes, de montrer que
-le langage $L := L(G)$ engendré par la grammaire $G$ est l'ensemble
-$M$ des mots $w \in \Sigma^*$ vérifiant les deux propriétés
+le langage $L := L(G)$ engendré par la grammaire $G$ coïncide avec
+l'ensemble $M$ des mots $w \in \Sigma^*$ vérifiant les deux propriétés
suivantes :
\begin{itemize}
\item[\quad(A)] $|w|_b = |w|_a$, et
\item[\quad(B)] $|u|_b \leq |u|_a$ pour tout préfixe $u$ de $w$
\end{itemize}
(autrement dit, le nombre de $b$ de n'importe quel préfixe de $w$ est
-inférieur ou égal au nombre de $a$, et pour le mot $w$ tout entier il
-y a égalité).
+inférieur ou égal à son nombre de $a$, et pour le mot $w$ tout entier
+il y a égalité).
(2) Expliquer pourquoi un mot $w \in \Sigma^*$ appartient à $L$ si et
seulement si $w = \varepsilon$ \emph{ou bien} $w$ s'écrit sous la
@@ -526,7 +531,7 @@ Si $w_1, w_2, w_3$ vérifient (B) (c'est-à-dire $|u|_b \leq |u|_a$ pour
tout préfixe $u$ d'un des $w_i$), alors en notant $u_i$ un préfixe
quelconque du $w_i$ correspondant, on a (i) $|u_1|_b \leq |u_1|_a$,
(ii) $|w_1 a u_2|_b = |w_1|_b + |u_2|_b + 1 \leq |w_1|_a + |u_2|_a + 1
-= |w_1 a u_2|_a$ et (iii) $|w_1 a w_2 b u_3|_b \leq |w_1|_b + |w_2|_b
+= |w_1 a u_2|_a$ et (iii) $|w_1 a w_2 b u_3|_b = |w_1|_b + |w_2|_b
+ |u_3|_b + 1 \leq |w_1|_a + |w_2|_a + |u_3|_a + 1 = |w_1 a w_2 b
u_3|_a$. D'après la question (3), on peut en conclure que tout
préfixe $u$ de $w_1 a w_2 b w_3$ vérifie $|u|_b \leq |u|_a$,