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path: root/exercices1.tex
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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-11-30 17:32:33 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2016-11-30 17:32:33 (GMT)
commit05290959b2d8f39f403580a1454cc2bf9f55d076 (patch)
tree2e165b45030923f067154adc99966792fbfb95f3 /exercices1.tex
parent724a5e10fd98080f49709ec5081fe1ff41c73625 (diff)
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Clarifications.
Diffstat (limited to 'exercices1.tex')
-rw-r--r--exercices1.tex20
1 files changed, 11 insertions, 9 deletions
diff --git a/exercices1.tex b/exercices1.tex
index 60fef33..b0595a7 100644
--- a/exercices1.tex
+++ b/exercices1.tex
@@ -226,7 +226,8 @@ Supposons par l'absurde que $L$ soit rationnel. D'après le lemme de
pompage, il existe un certain $k$ tel que tout mot de $L$ de longueur
$\geq k$ se factorise sous la forme $uvw$ avec (i) $|v|\geq 1$,
(ii) $|uv|\leq k$ et (iii) $uv^iw \in L$ pour tout $i\geq 0$. Soit
-$p$ un nombre premier supérieur ou égal à $k$ : le mot $a^p \in L$
+$p$ un nombre premier supérieur ou égal à $k$ (qui existe car
+l'ensemble des nombres premiers est infini) : le mot $a^p \in L$
admet une factorisation comme on vient de dire. Posons $|u| =: m$ et
$|v| =: n$, si bien que $|w| = p-m-n$. On a alors $n\geq 1$
d'après (i), et $|uv^iw| = m + in + (p-m-n) = p+(i-1)n$ est premier
@@ -396,14 +397,15 @@ le NFA précédent et partant des états parmi $\{0,2,3,7\}$ sont $0\to
0$, $0\to 5$, $3\to 7$ et $7\to 7$. Tous les états contenant l'un des
symboles $3,6,7$ sont finaux.)
-(2) On a affaire à un DFA dont tous les états sont accessibles, on
-peut donc appliquer directement l'algorithme de Moore. Une première
-partition sépare les états finaux, soit $023, 0237, 027, 056, 0567,
-057$ des non-finaux, soit $0, 02, 05$. L'étape suivante distingue
-$02$ parce que sa $a$-transition conduit à une classe différente que
-celles de $0$ et $05$, et $05$ parce que sa $b$-transition conduit à
-une classe différente de $0$ et $02$. Les étapes suivantes ne
-changent rien. Finalement, on arrive à un automate à quatre états :
+(2) On a affaire à un DFA (sous-entendu : \emph{complet}) dont tous
+les états sont accessibles, on peut donc appliquer directement
+l'algorithme de Moore. Une première partition sépare les états
+finaux, soit $023, 0237, 027, 056, 0567, 057$ des non-finaux, soit $0,
+02, 05$. L'étape suivante distingue $02$ parce que sa $a$-transition
+conduit à une classe différente que celles de $0$ et $05$, et $05$
+parce que sa $b$-transition conduit à une classe différente de $0$ et
+$02$. Les étapes suivantes ne changent rien. Finalement, on arrive à
+un automate à quatre états :
\begin{center}
%%% begin ex1p2d %%%