summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/exercices2.tex
blob: e100e11675da1f1d715073df224b43aebb18d501 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
%% This is a LaTeX document.  Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it?
\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{ucs}
\usepackage{times}
% A tribute to the worthy AMS:
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
%
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{url}
%
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows,automata,positioning}
\usepackage[hyperindex=false]{hyperref}
%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
\newcommand\exercice{%
\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}}
\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley}
%
\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}\relax}
%
\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~}
\DeclareUnicodeCharacter{03B5}{$\varepsilon$}
%
\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C}
\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D}
%
%
\DeclareFontFamily{U}{manual}{} 
\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <->  manfnt }{}
\newcommand{\manfntsymbol}[1]{%
    {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}}
\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped
\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2%
  \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}}
%
\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em}
\newif\ifcorrige
\corrigetrue
\newenvironment{corrige}%
{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi%
\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}}
{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}%
\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par}
%
%
% NOTE: compile dot files with
% dot2tex --figonly -f tikz --tikzedgelabels --graphstyle=automaton file.dot  > file.tex
\tikzstyle{automaton}=[>=stealth',initial text={},thick,every loop/.style={min distance=7mm,looseness=5}]
\tikzstyle{state}=[]
\tikzstyle{final}=[accepting by arrow]
%
%
%
\begin{document}
\ifcorrige
\title{TD langages algébriques — Corrigé}
\else
\title{TD langages algébriques}
\fi
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{INF105}}

{\footnotesize
\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex}
\begin{center}
Git: \input{vcline.tex}
\end{center}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}

\pretolerance=8000
\tolerance=50000


%
%
%

\exercice

Soit $\Sigma = \{a,b\}$.  Montrer que le langage $L := \{ww :
w\in\Sigma^*\}$ constitué des mots de la forme $ww$ (par exemple,
$\varepsilon$, $aa$, $abab$, $abaaba$ ou encore $aabbaabb$) n'est pas
algébrique.  On pourra pour considérer son intersection avec le
langage $L_0$ dénoté par l'expression rationnelle $a{*}b{*}a{*}b{*}$
et appliquer le lemme de pompage.

\begin{corrige}
Supposons par l'absurde que $L$ soit algébrique : alors son
intersection avec le langage rationnel $L_0 = \{a^m b^n a^{m'} b^{n'} :
m,n,m',n' \in \mathbb{N}\}$ est encore algébrique.  Or $L \cap L_0 =
\{a^m b^n a^m b^n : m,n \in \mathbb{N}\}$.  On va maintenant utiliser
le lemme de pompage pour arriver à une contradiction.

Appliquons le lemme de pompage pour les langages algébriques au
langage $L \cap L_0 = \{a^m b^n a^m b^n : m,n \in \mathbb{N}\}$
considéré : appelons $k$ l'entier dont le lemme de pompage garantit
l'existence.  Considérons le mot $t := a^k b^k a^k b^k$ : dans la
suite de cette démonstration, on appellera « bloc » de $t$ un des
quatre facteurs $a^k$, $b^k$, $a^k$ et $b^k$.  D'après la propriété de
$k$ garantie par le lemme de pompage, il doit exister une
factorisation $t = uvwxy$ pour laquelle on a (i) $|vx|\geq 1$,
(ii) $|vwx|\leq k$ et (iii) $uv^iwx^iy \in L \cap L_0$ pour
tout $i\geq 0$.

Chacun de $v$ et de $x$ doit être contenu dans un seul bloc, i.e.,
doit être de la forme $a^\ell$ ou $b^\ell$, sinon sa répétition ($v^i$
ou $x^i$ pour $i\geq 2$, qui appartient à $L_0$ d'après (iii)) ferait
apparaître plus d'alternations entre $a$ et $b$ que le langage $L_0$
ne le permet.  Par ailleurs, la propriété (ii) assure que le facteur
$vwx$ ne peut rencontrer qu'un ou deux blocs de $t$ (pas plus).
Autrement dit, $v$ et $x$ sont contenus dans deux blocs de $t$ qui
sont identiques ou bien consécutifs\footnote{La formulation est
  choisie pour avoir un sens même si $v$ ou $x$ est le mot vide (ce
  qui est possible \textit{a priori}).}.

D'après la propriété (i), au moins l'un de $v$ et de $x$ n'est pas le
mot vide.  Si ce facteur non trivial est dans le premier bloc $a^k$,
l'autre ne peut pas être dans l'autre bloc $a^k$ d'après ce qui vient
d'être dit : donc $uv^iwx^iy$ est de la forme $a^{k'} b^n a^k b^k$
avec $k'>k$ si $i>1$, qui n'appartient pas à $L\cap L_0$, une
contradiction.  De même, le facteur non trivial est dans le premier
bloc $b^k$, l'autre ne peut pas être dans l'autre bloc $b^k$ : donc
$uv^iwx^iy$ est de la forme $a^m b^{k'} a^{m'} b^k$ avec $k'>k$ si
$i>1$, qui n'appartient pas à $L\cap L_0$, de nouveau une
contradiction.  Les deux autres cas sont analogues.
\end{corrige}


%
%
%
\end{document}