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\begin{document}
\title{THL (Théorie des langages)\\Notes de cours \textcolor{red}{provisoires}}
\author{David A. Madore}
\maketitle

\centerline{\textbf{INF105}}

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{\footnotesize
\tableofcontents
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\bigbreak

\section{Alphabets, mots et langages}

\subsection{Introduction, alphabets, mots et longueur}

\thingy L'objet de ces notes, au confluent des mathématiques et de
l'informatique, est l'étude des \textbf{langages} : un langage étant
un ensemble de \textbf{mots}, eux-mêmes suites finies de
\textbf{lettres} choisies dans un \textbf{alphabet}, on va commencer
par définir ces différents termes avant de décrire plus précisément
l'objet de l'étude.

\thingy Le point de départ est donc ce que les mathématiciens
appelleront un \textbf{alphabet}, et qui correspond pour les
informaticiens à un \textbf{jeu de caractères}.  Il s'agit d'un
ensemble \emph{fini}, sans structure particulière, dont les éléments
s'appellent \textbf{lettres}, ou encore \textbf{caractères} dans une
terminologie plus informatique.

Les exemples mathématiques seront souvent donnés sur un alphabet tel
que l'alphabet à deux lettres $\{a,b\}$ ou à trois lettres
$\{a,b,c\}$.  On pourra aussi considérer l'alphabet $\{0,1\}$ appelé
\textbf{binaire} (puisque l'alphabet n'a pas de structure
particulière, cela ne fait guère de différence par rapport à n'importe
quel autre alphabet à deux lettres).  Dans un contexte informatique,
des jeux de caractères (=alphabets) souvent importants sont ASCII,
Latin-1 ou Unicode : en plus de former un ensemble, ces jeux de
caractère attribuent un numéro à chacun de leurs éléments (par
exemple, la lettre A majuscule porte le numéro 65 dans ces trois jeux
de caractères), mais cette structure supplémentaire ne nous
intéressera pas ici.  Dans tous les cas, il est important pour la
théorie que l'alphabet soit \emph{fini}.

L'alphabet sera généralement fixé une fois pour toutes dans la
discussion, et désigné par la lettre $\Sigma$ (sigma majuscule).

\thingy Un \textbf{mot} sur l'alphabet $\Sigma$ est une suite finie de
lettres (éléments de $\Sigma$) ; dans la terminologie informatique, on
parle plutôt de \textbf{chaîne de caractères}, qui est une suite finie
(=liste) de caractères.  Le mot est désigné en écrivant les lettres
les unes à la suite des autres : autrement dit, si $x_1,\ldots,x_n \in
\Sigma$ sont des lettres, le mot formé par la suite finie
$x_1,\ldots,x_n$ est simplement écrit $x_1\cdots x_n$.  À titre
d'exemple, $abbcab$ est un mot sur l'alphabet $\Sigma = \{a,b,c,d\}$,
et \texttt{foobar} est un mot (=chaîne de caractères) sur l'alphabet
ASCII.  (Dans un contexte informatique, il est fréquent d'utiliser une
sorte de guillemet pour délimiter les chaînes de caractères : on
écrira donc \texttt{\char`\"foobar\char`\"} pour parler du mot en
question.  Dans ces notes, nous utiliserons peu cette convention.)

L'ensemble des mots sur un alphabet $\Sigma$ est généralement
désigné $\Sigma^*$ (on verra que l'étoile fait partie d'un usage plus
général qui sera défini ci-dessous).  Par exemple, si $\Sigma =
\{0,1\}$, alors $\Sigma^*$ est l'ensemble (infini !) dont les éléments
sont toutes les suites finies binaires (=suites finies de $0$ et
de $1$).

\thingy Le nombre $n$ de lettres dans un mot $w \in \Sigma^*$ est
appelé la \textbf{longueur} du mot, et généralement notée $|w|$ ou
bien $\ell(w)$ : autrement dit, si $x_1,\ldots,x_n \in \Sigma$, alors
la longueur $\ell(x_1\cdots x_n)$ du mot $x_1\cdots x_n$, vaut $n$.
Ceci coïncide bien avec la notion usuelle de longueur d'une chaîne de
caractères en informatique.  À titre d'exemple, sur l'alphabet
$\Sigma=\{a,b,c,d\}$, la longueur du mot $abbcab$ vaut $6$ (on écrira
$|abbcab|=6$ ou bien $\ell(abbcab)=6$).

\thingy Quel que soit l'alphabet, il existe un unique mot de
longueur $0$, c'est-à-dire un unique mot n'ayant aucune lettre, appelé
le \textbf{mot vide} (ou la \textbf{chaîne [de caractères] vide}).
Étant donné qu'il n'est pas commode de désigner un objet par une
absence de symbole, on introduit un symbole spécial, généralement
$\varepsilon$, pour désigner ce mot vide : on a donc
$|\varepsilon|=0$.  On souligne que le symbole $\varepsilon$
\underline{ne fait pas partie} de l'alphabet $\Sigma$, c'est un
symbole \emph{spécial} qui a été introduit pour désigner le mot vide.
(Lorsque les mots sont délimités par des guillemets, comme il est
usage pour les chaînes de caractères en informatique, le mot vide n'a
pas besoin d'un symbole spécial : il s'écrit juste
\texttt{\char`\"\char`\"} — sans aucun caractère entre les
guillemets.)

{\footnotesize Lorsque l'alphabet $\Sigma$ est \emph{vide},
  c'est-à-dire $\Sigma=\varnothing$, alors le mot vide est le seul mot
  qui existe : on a $\Sigma^*=\{\varepsilon\}$ dans ce cas.  C'est la
  seule situation où l'ensemble $\Sigma^*$ des mots est un ensemble
  fini.  Dans la suite, nous négligerons parfois ce cas particulier,
  qu'on pourra oublier : c'est-à-dire que nous ferons parfois
  l'hypothèse tacite que $\Sigma \neq \varnothing$.\par}

La notation $\Sigma^+$ est parfois utilisée pour désigner l'ensemble
des mots \emph{non vides} sur l'alphabet $\Sigma$ (par opposition à
$\Sigma^*$ qui désigne l'ensemble de tous les mots, y compris le mot
vide).

\thingy Les mots d'une seule lettre sont naturellement en
correspondance avec les lettres elles-mêmes : on identifiera souvent
tacitement, quoique un peu abusivement, une lettre $x\in\Sigma$ et le
mot de longueur $1$ formé de la seule lettre $x$.  (En informatique,
cette identification entre \emph{caractères} et \emph{chaînes de
  caractères de longueur $1$} est faite par certains langages de
programmation, mais pas par tous : \textit{caveat programmator}.)
Ceci permet d'écrire par exemple $\Sigma \subseteq \Sigma^*$ ou bien
$|x|=1 \liff x\in\Sigma$.

\thingy Si le cardinal de l'alphabet $\Sigma$ vaut $\#\Sigma = N$,
alors, pour chaque $n$, le nombre de mots de longueur exactement $n$
est égal à $N^n$ (combinatoire classique).  Le nombre de mots de
longueur $\leq n$ vaut donc $1 + N + \cdots + N^n =
\frac{N^{n+1}-1}{N-1}$ (somme d'une série géométrique).


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\end{document}