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\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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% A tribute to the worthy AMS:
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{comcnt}{Tout}
\newcommand\thingy{%
\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} }
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\begin{document}
\title{Logique et Fondements de l'Informatique\\Attendus du cours}
\author{David A. Madore}
\maketitle
\centerline{\textbf{INF110}}
{\footnotesize
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\begin{center}
Git: \input{vcline.tex}
\end{center}
\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex}
\par}
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\textbf{Sont au programme du cours} les notions suivantes :
\begin{itemize}
\item \textbf{Calculabilité :} fonctions primitives récursives,
fonctions générales récursives, numérotation (notamment la notation
$\varphi_e(i)$), théorème s-m-n, astuce de Quine, existence d'une
fonction universelle pour les fonctions générales récursives (et
inexistence pour les primitives récursives), théorème de la forme
normale et possibilité de lancer des calculs en parallèle, théorème
de récursion de Kleene ; indécidabilité du problème de l'arrêt,
théorème de Rice ; machines de Turing et équivalence avec les
fonctions générales récursives ; parties décidables et
semi-décidables, équivalence entre semi-décidable et « image d'une
fonction calculable » ; la notion de réduction many-to-one et de
Turing ; le $\lambda$-calcul non typé, $\beta$-réduction, théorème
de Church-Rosser, redex extérieur gauche, entiers de Church,
équivalence du $\lambda$-calcul avec les fonctions générales
récursives, combinateur $\mathsf{Y}$.
\item \textbf{Typage :} $\lambda$-calcul simplement typé, et sa
version enrichie par les types produits, sommes, $1$ et $0$ ;
terminaison des programmes écrits dans ce dernier (sans détails) ;
correspondance de Curry-Howard entre $\lambda$-calcul simplement
typé enrichi et calcul propositionnel intuitionniste ; algorithme de
Hindley-Milner (basique).
\item \textbf{Calcul propositionnel :} règles de logique en déduction
naturelle, et au moins une présentation des preuves (arbre de
séquents, ou drapeau) ; écriture et vérification des
$\lambda$-termes de preuve (sans entrer dans le détail pointilleux
des notations) ; différence entre logique intuitionniste et logique
classique ; notion de calcul des séquents et de preuve sans coupure
(sans détails) ; notions des axiomes de Hilbert / combinateurs
$\mathsf{S},\mathsf{K},\mathsf{I}$ (sans détails).
\item \textbf{Continuations et call/cc :} la notion générale de
continuation, l'idée générale de la fonction call/cc et son rapport
avec la loi de Peirce, l'idée générale du continuation-passing-style
(sans détails).
\item \textbf{Sémantiques du calcul propositionnel intuitionniste :}
\emph{au moins une} des quatre sémantiques vues en cours (Kripke,
ouverts, réalisabilité propositionnelle, problèmes finis), sa
correction, et comment on s'en sert pour montrer qu'une formule
propositionnelle n'est pas démontrable.
\item \textbf{Quantificateurs :} règles \emph{générales}
d'introduction et d'élimination du $\forall$ et $\exists$, et
$\lambda$-termes de preuve correspondants (sans entrer dans le
détail pointilleux des notations) ; logique du premier ordre pure,
logique du premier ordre avec égalité.
\item \textbf{Arithmétique du premier ordre :} les axiomes de Peano ;
l'idée générale que Curry-Howard sur l'arithmétique de Heyting
permet d'extraire des algorithmes des preuves ; la possibilité de
formaliser $\varphi_e(i){\downarrow}$ en arithmétique de
Heyting/Peano ; le fait que vérifier si une preuve est valable est
décidable, mais que savoir si un énoncé est un théorème est
seulement semi-décidable ; l'énoncé du théorème de Gödel et au moins
une certaine idée de la preuve par machines de Turing.
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{Ne sont explicitement pas exigibles} les notions suivantes :
\begin{itemize}
\item Les détails de la fonction d'Ackermann ; les détails de la
notion d'arbre de calcul (autre que l'énoncé du théorème de la forme
normale) ; la notion de degré many-to-one ou de Turing ; les notions
de $\beta$-réduction autres qu'extérieur gauche, les subtilités de
l'ordre d'évaluation, le combinateur $\mathsf{Z}$ ou sa différence
avec $\mathsf{Y}$.
\item Les détails du typage de quelque langage de programmation que ce
soit (autres que les variantes du $\lambda$-calcul simplement typé
vus en cours, Hindley Milner, et les parties de Coq vues en TP),
notamment rien de ce qui concerne Scheme, Haskell ou quelque autre
langage mentionné en passant dans le cours ; le sous-typage, le
polymorphisme ad hoc, les types dépendants, ou les autres
fonctionnalités de certains systèmes de typages mentionnés en
passant dans le cours. Les subtilités de l'algorithme de
Hindley-Milner (problème du polymorphisme du \texttt{let},
restriction de valeur).
\item Les subtilités des règles structurales en calcul des séquents.
Le fonctionnement de l'élimination des coupures ou sa preuve. Le
$\overline{\lambda}$-calcul (juste mentionné en cours). Le détail
de l'équivalence entre déduction naturelle et calcul des séquents.
Le détail de l'élimination des $\lambda$ grâce aux combinateurs
$\mathsf{S},\mathsf{K},\mathsf{I}$.
\item Le fonctionnement détaillé de la fonction call/cc. Les détails
du continuation-passing-style (conversion systématique) ou de son
typage. Le $\lambda\mu$-calcul (juste mentionné en cours).
\item La complétude de telle ou telle sémantique du calcul
propositionnel intuitionniste. Les subtilités de la réalisabilité
propositionnelle (p.ex., la réalisabilité de la formule de Tseitin).
La sémantique des problèmes finis.
\item Le $\lambda$-cube de Barendregt, les subtilités de la différence
entre $\exists$ et types sommes, la notion de
prédicativité/imprédicativité.
\item Les détails de Curry-Howard pour quoi que ce soit d'autre que le
calcul propositionnel intuitionniste.
\item Les subtilités des différences et rapports entre Heyting et
Peano (sauf s'il s'agit, par exemple, de vérifier si une
démonstration donnée utilise un raisonnement par l'absurde).
\item Les détails de la démonstration du théorème de Gödel, les
systèmes précis auxquels il s'applique.
\end{itemize}
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\end{document}
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