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%
\title{Calculabilité}
\subtitle{INF110 (Logique et Fondements de l'Informatique)}
\author[David Madore]{David A. Madore\\
{\footnotesize Télécom Paris}\\
\texttt{david.madore@enst.fr}}
\date{2023–2024}
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\begin{document}
\mode<article>{\maketitle}
%
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%
\begin{frame}
\titlepage
{\footnotesize\center{\url{http://perso.enst.fr/madore/inf110/transp-inf110.pdf}}\par}
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\end{frame}
%
\section*{Plan}
\begin{frame}
\frametitle{Plan}
\tableofcontents
\end{frame}
%
\section{Introduction}
\begin{frame}
\frametitle{Qu'est-ce que la calculabilité ?}

\itempoint À l'interface entre \textbf{logique mathématique} et
\textbf{informatique théorique}
\begin{itemize}
\item née de préoccupations venues de la logique (Hilbert, Gödel),
\item à l'origine des 1\textsuperscript{ers} concepts informatiques
  ($\lambda$-calcul, machine de Turing).
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint But : étudier les limites de ce que \textbf{peut ou ne peut
  pas faire un algorithme}
\begin{itemize}
\item sans limite de ressources (temps, mémoire juste « finis »),
\item sans préoccupation d'efficacité ($\neq$ complexité, algorithmique),
\item y compris résultats négatifs (« \emph{aucun} algorithme ne peut… »),
\item voire relatifs (calculabilité relative),
\item admettant diverses généralisations (calculabilité supérieure).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Quelques noms}

\itempoint Muḥammad ibn Mūsá al-\b{H}wārizmī (v.780–v.850) :
$\rightsquigarrow$« algorithme »

\itempoint Blaise Pascal (1623–1662) : machine à calculer
$\rightsquigarrow$automates

\itempoint Charles Babbage (1791–1871) : \textit{Analytical Engine} (Turing-complète !)

\itempoint Ada (née Byron) Countess of Lovelace (1815–1852) : programmation

\itempoint Richard Dedekind (1831–1916) : définitions primitives récursives

\itempoint David Hilbert (1862–1943) : \textit{Entscheidungsproblem}
(décider la vérité)

\itempoint Jacques Herbrand (1908–1931) : fonctions générales récursives

\itempoint Kurt Gödel (1906–1978) : incomplétude en logique

\itempoint Alonzo Church (1903–1995) : $\lambda$-calcul

\itempoint Alan M. Turing (1912–1954) : machine de Turing, problème de l'arrêt

\itempoint Emil Post (1897–1954) : ensembles calculablement énumérables

\itempoint Stephen C. Kleene (1909–1994) : $\mu$-récursion, th. de récursion, forme normale

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonction calculable}

« Définition » : une fonction $f$ est \textbf{calculable}
quand il existe un algorithme qui
\begin{itemize}
\item prenant en entrée un $x$ du domaine de définition de $f$,
\item \textbf{termine en temps fini},
\item et renvoie la valeur $f(x)$.
\end{itemize}

\bigskip

Difficultés :
\begin{itemize}
\item Comment définir ce qu'est un algorithme ?
\item Quel type de valeurs ?
\item Et si l'algorithme ne termine pas ?
\item Distinction entre intention (l'algorithme) et extension (la fonction).
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Sans préoccupation d'efficacité}

\itempoint La calculabilité \alert{ne s'intéresse pas à l'efficacité}
des algorithmes qu'elle étudie, uniquement leur \textbf{terminaison en
  temps fini}.

\medskip

P.ex. : pour savoir si $n$ est premier, on peut tester si $i\times
j=n$ pour tout $i$ et $j$ allant de $2$ à $n-1$.  (Hyper inefficace ?
On s'en fout.)

\bigskip

\itempoint La calculabilité \alert{n'a pas peur des grands entiers}.

\medskip

P.ex. : \textbf{fonction d'Ackermann} définie par :
\[
\begin{aligned}
A(m,n,0) &= m+n \\
A(m,1,k+1) &= m \\
A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]
définition algorithmique par récursion, donc calculable.

\smallskip

Mais $A(2,6,3) = 2^{2^{2^{2^{2^2}}}} = 2^{2^{65\,536}}$ et $A(2,4,4) =
A(2,65\,536,3)$ est inimaginablement grand (et que dire de
$A(100,100,100)$ ?).

$\Rightarrow$ Ingérable sur un vrai ordinateur.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Approches de la calculabilité}

\itempoint Approche informelle : \textbf{algorithme = calcul
  finitiste} mené par un humain ou une machine, selon des instructions
précises, en temps fini, sur des données finies

\medskip

\itempoint Approche pragmatique : tout ce qui peut être fait sur un
langage de programmation « Turing-complet » (Python, Java, C, Caml…)
idéalisé
\begin{itemize}
\item sans limites d'implémentation (p.ex., entiers arbitraires !),
\item sans source de hasard ou de non-déterminisme.
\end{itemize}

\medskip

\itempoint Approches formelles, p.ex. :
\begin{itemize}
\item fonctions générales récursives (Herbrand-Gödel-Kleene),
\item $\lambda$-calcul (Church) ($\leftrightarrow$ langages fonctionnels),
\item machine de Turing (Turing),
\item machines à registres (Post…).
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint\textbf{« Thèse » de Church-Turing} : \alert{tout ceci
  donne la même chose}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Thèse de Church-Turing}

\itempoint\textbf{Théorème} (Post, Turing) : les fonctions (disons
$\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$) \textbf{(1)} générales récursives,
\textbf{(2)} exprimables en $\lambda$-calcul, et
\textbf{(3)} calculables par machine de Turing, coïncident toutes.

\smallskip

$\Rightarrow$ On parle de \alert{calculabilité au sens de Church-Turing}.

\bigskip

\itempoint\textbf{Observation} : tous les langages de programmation
informatiques généraux usuels, idéalisés, calculent aussi exactement
ces fonctions.

\bigskip

\itempoint\textbf{Thèse philosophique} : la calculabilité de C-T
définit précisément la notion d'algorithme finitiste.

\bigskip

\itempoint\textbf{Conjecture physique} : la calculabilité de C-T
correspond aux calculs réalisables mécaniquement dans l'Univers (en
temps/énergie finis mais illimités).

{\footnotesize $\uparrow$ (même avec un ordinateur quantique)}

\bigskip

Pour toutes ces raisons, le sujet mérite d'être étudié !

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Données finies}

Un algorithme travaille sur des \textbf{données finies}.

\medskip

Qu'est-ce qu'une « donnée finie » ?  Tout objet représentable
informatiquement : booléen, entier, chaîne de caractères, structure,
liste/tableau de ces choses, ou même plus complexe (p.ex., graphe).

\medskip

$\rightarrow$ Comment y voir plus clair ?

\bigskip

Deux approches opposées :
\begin{itemize}
\item\textbf{typage} : distinguer toutes ces données,
\item\textbf{codage de Gödel} : tout représenter comme des entiers !
\end{itemize}

\bigskip

Le typage est plus élégant, plus satisfaisant, plus proche de
l'informatique réelle.

\smallskip

Le codage de Gödel simplifie l'approche/définition de la calculabilité
(on étudie juste des fonctions $\mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Codage de Gödel (« tout est un entier »)}

\itempoint Représenter \textbf{n'importe quelle donnée finie par un
  entier}.

\bigskip

\itempoint Codage des couples : par exemple,
\[
\langle m,n\rangle := m + \frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)
\]
définit une bijection calculable $\mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$.

\bigskip

\itempoint Codage des listes finies : par exemple,
\[
\dbllangle a_0,\ldots,a_{k-1}\dblrangle
:= \langle a_0, \langle a_1, \langle\cdots,\langle a_{k-1},0\rangle+1\cdots\rangle+1\rangle+1
\]
définit une bijection calculable $\{\text{suites finies dans $\mathbb{N}$}\} \to \mathbb{N}$ {\footnotesize (avec $\dbllangle\dblrangle := 0$)}.

\bigskip

\itempoint Il sera aussi utile de représenter les programmes par des
entiers.

\bigskip

\itempoint Les détails du codage sont \textbf{sans importance}.

\bigskip

\itempoint\alert{Ne pas utiliser dans la vraie vie} (hors calculabilité) !

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions partielles}

\itempoint Même si on s'intéresse à des algorithmes qui
\textbf{terminent}, la définition de la calculabilité \alert{doit
  forcément} passer aussi par ceux qui ne terminent pas.

{\footnotesize (Aucun langage Turing-complet ne peut exprimer
  uniquement des algorithmes qui terminent toujours, à cause de
  l'indécidabilité du problème de l'arrêt.)\par}

\bigskip

\itempoint Lorsque l'algorithme censé calculer $f(n)$ ne termine pas,
on dira que $f$ n'est pas définie en $n$, et on notera $f(n)\uparrow$.
Au contraire, s'il termine, on note $f(n)\downarrow$.

\bigskip

\itempoint Notation : $f\colon \mathbb{N} \dasharrow \mathbb{N}$ :
une fonction $D \to \mathbb{N}$ définie sur une partie $D \subseteq
\mathbb{N}$.

\itempoint Notation : $f(n) \downarrow$ signifie « $n \in D$ », et $f(n)
\uparrow$ signifie « $n \not\in D$ ».

\itempoint Notation : $f(n) \downarrow = g(m)$ signifie
« $f(n)\downarrow$ et $g(m)\downarrow$ et $f(n) = g(m)$ ».

\itempoint Convention : $f(n) = g(m)$ signifie « $f(n)\downarrow$ ssi
$g(m)\downarrow$, et $f(n) = g(m)$ si $f(n)\downarrow$ ».  (Certains
préfèrent écrire $f(n) \simeq g(m)$ pour ça.)

\medskip

\itempoint Convention : si $g_i(\underline{x})\uparrow$ pour un $i$,
on convient que
$h(g_1(\underline{x}),\ldots,g_k(\underline{x}))\uparrow$.

\medskip

\itempoint Terminologie : une fonction $f\colon \mathbb{N} \to
\mathbb{N}$ est dite \textbf{totale}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Terminologie à venir (avant-goût)}

\itempoint Une fonction partielle $f\colon \mathbb{N} \dasharrow
\mathbb{N}$ est dite \textbf{calculable partielle} lorsqu'il existe
un algorithme qui prend $n$ en entrée et :
\begin{itemize}
\item termine (en temps fini) et renvoie $f(n)$ lorsque $f(n)\downarrow$,
\item ne termine pas lorsque $f(n)\uparrow$.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite
\textbf{décidable} lorsque sa fonction indicatrice
$\mathbb{N}\to\mathbb{N}$
\[
\mathbf{1}_A\colon n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
0&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « non » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\bigskip

\itempoint Une partie $A \subseteq \mathbb{N}$ est dite
\textbf{semi-décidable} lorsque sa fonction « semi-indicatrice »
$\mathbb{N}\dasharrow\mathbb{N}$ (d'ensemble de définition $A$)
\[
n \mapsto \left\{
\begin{array}{ll}
1&\text{~si~}n\in A\\
\uparrow&\text{~si~}n\not\in A\\
\end{array}
\right.
\]
est calculable (répondre « oui » ou « ... » selon que $n\in A$ ou $n\not\in A$).

\end{frame}
%
\section{Fonctions primitives récursives}
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : aperçu}

\itempoint Avant de définir les fonctions générales récursives
($\cong$ calculables), on va commencer par les \textbf{primitives
  récursives}, plus restreintes.

{\footnotesize« primitive\alert{ment} récursives » ?\par}

\bigskip

\itempoint Historiquement antérieures à la calculabilité de
Church-Turing.

\bigskip

\itempoint Pédagogiquement utile comme « échauffement ».

\bigskip

\itempoint À cheval entre calculabilité (\textbf{PR} est une petite
classe de calculabilité) et complexité (c'est une grosse classe de
complexité).

\bigskip

\itempoint Correspond à des programmes à \textbf{boucles bornées a
  priori}.

\bigskip

\itempoint Énormément d'algorithmes usuels sont p.r.

\bigskip

\itempoint Mais p.ex. la fonction d'Ackermann n'est pas p.r.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\label{primitive-recursive-definition}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : définition}

\itempoint $\textbf{PR}$ est la plus petite classe de fonctions
$\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ (en fait $\mathbb{N}^k \to
\mathbb{N}$), pour $k$ variable qui :
\begin{itemize}
\item contient les projections $\underline{x} := (x_1,\ldots,x_k)
  \mapsto x_i$ ;
\item contient les constantes $\underline{x} \mapsto c$ ;
\item contient la fonction successeur $x \mapsto x+1$ ;
\item est stable par composition : si $g_1,\ldots,g_\ell\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^\ell
  \dasharrow \mathbb{N}$ sont p.r. alors $\underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ est p.r. ;
\item est stable par récursion primitive : si $g\colon \mathbb{N}^k
  \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^{k+2} \dasharrow
  \mathbb{N}$ sont p.r., alors $f\colon \mathbb{N}^{k+1} \dasharrow
  \mathbb{N}$ est p.r., où :
\[
\begin{aligned}
f(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
f(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\end{itemize}

\medskip

{\footnotesize Les fonctions p.r. sont automatiq\textsuperscript{t}
  totales, mais il est commode de garder la définition avec
  $\dasharrow$.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : exemples}

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x+z$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,0) &= x\\
f(x,z+1) &= f(x,z)+1
\end{aligned}
\]
{\footnotesize où $x \mapsto x$ et $(x,y,z) \mapsto y+1$ sont p.r.\par}

\medskip

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x\cdot z$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,0) &= 0\\
f(x,z+1) &= f(x,z)+x
\end{aligned}
\]

\medskip

\itempoint $f\colon (x,z) \mapsto x^z$ est p.r.

\bigskip

\itempoint $f\colon (x,y,0) \mapsto x, \; (x,y,z) \mapsto y\text{~si~}z\geq 1$ est p.r. :
\[
\begin{aligned}
f(x,y,0) &= x\\
f(x,y,z+1) &= y
\end{aligned}
\]

\medskip

\itempoint $(u,v) \mapsto \max(u-v,0)$ est p.r. (exercice !)
ou même $u\% v$.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : programmation}

Les fonctions p.r. sont celles définies par un \textbf{langage de
  programmation à boucles bornées}, c'est-à-dire que :
\begin{itemize}
\item les variables sont des entiers naturels (illimités !),
\item les manipulations de base sont permises (constantes,
  affectations, test d'égalité, conditionnelles),
\item les opérations arithmétiques basiques sont disponibles,
\item on peut faire des appels de fonctions \alert{sans récursion},
\item on ne peut faire que des boucles \alert{de nombre borné
  \textit{a priori}} d'itérations.
\end{itemize}

\medskip

Les programmes dans un tel langage \textbf{terminent forcément par
  construction}.

\bigskip

\textbf{N.B.} $(m,n) \mapsto \langle m,n\rangle := m +
\frac{1}{2}(m+n)(m+n+1)$ et $\langle m,n\rangle \mapsto m$ et $\langle
m,n\rangle \mapsto n$ sont p.r.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : lien avec la complexité}

En anticipant sur la notion de machine de Turing :

\medskip

\itempoint La fonction $(M,C) \mapsto C'$ qui à une machine de Turing
$M$ et une configuration (= ruban+état) $C$ de $M$ associe la
configuration atteinte après $1$ étape d'exécution, \textbf{est p.r.}

\medskip

\itempoint Conséquence : la fonction $(n,M,C) \mapsto C^{(n)}$ qui à
$n\in\mathbb{N}$ et une machine de Turing $M$ et une configuration $C$
de $M$ associe la configuration atteinte après $n$ étapes d'exécution,
\textbf{est p.r.}

{\footnotesize (Par récursion primitive sur le point précédent.)}

\medskip

\itempoint Conséquence : une fonction calculable en complexité
p.r. par une machine de Turing est elle-même p.r.

\smallskip

{\footnotesize (Calculer une borne p.r. sur le nombre d'étapes, puis
  appliquer le point précédent.)}

\medskip

\itempoint Réciproquement : une p.r. est calculable en complexité p.r.

\medskip

\itempoint Moralité : p.r. $\Leftrightarrow$ de complexité p.r.

\smallskip

{\footnotesize Notamment $\textbf{EXPTIME} \subseteq \textbf{PR}$.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : limitations}

{\footnotesize La classe $\textbf{PR}$ est « à cheval » entre la
  calculabilité et la complexité.\par}

\bigskip

Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} (pour $m=2$) définie par :
\[
\begin{aligned}
A(2,n,0) &= 2+n \\
A(2,1,k+1) &= 2 \\
A(2,n+1,k+1) &= A(2,\,A(2,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]
devrait être calculable.  Mais cette définition \alert{n'est pas une
  récursion primitive} (pourquoi ?).

\bigskip

\itempoint On peut montrer que : si $f \colon \mathbb{N}^k \to
\mathbb{N}$ est p.r., il existe $r$ tel que
\[
f(x_1,\ldots,x_k) \leq A(2,\, (x_1+\cdots+x_k+2),\, r)
\]

\medskip

\itempoint Notamment, $r \mapsto A(2, 2, r)$ \textbf{n'est pas p.r.}

\medskip

Pourtant, \alert{elle est bien définie par un algorithme} clair (et
terminant clairement).

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : numérotation}

On définit $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ par
induction suivant la déf\textsuperscript{n} de $\mathbf{PR}$
(cf. transp. \ref{primitive-recursive-definition}) :
\begin{itemize}
\item si $e = \dbllangle 0, k, i\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = x_i$ (projections) ;
\item si $e = \dbllangle 1, k, c\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x_1\ldots,x_k) = c$ (constantes) ;
\item si $e = \dbllangle 2\dblrangle$ alors
  $\psi_e^{(k)}(x) = x+1$ (successeur) ;
\item si $e = \dbllangle 3, k, d, c_1,\ldots,c_\ell\dblrangle$ et $g_i
  := \psi_{c_i}^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(\ell)}$, alors
  $\psi_e^{(k)} \colon \underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ (composition) ;
\item si $e = \dbllangle 4, k, d, c\dblrangle$ et $g :=
  \psi_c^{(k)}$ et $h := \psi_d^{(k+2)}$, alors (récursion primitive)
\[
\begin{aligned}
\psi_e^{(k+1)}(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
\psi_e^{(k+1)}(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\end{itemize}
(Autres cas non définis, i.e., donnent $\uparrow$.)

\bigskip

\itempoint Alors $f\colon \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est
p.r. \alert{ssi} $\exists e \in\mathbb{N}.\,(f = \psi_e^{(k)})$.

{\tiny P.ex., $e = \dbllangle 4,1,\dbllangle 3,3,\dbllangle
  2\dblrangle,\dbllangle 0,3,2\dblrangle\dblrangle,\dbllangle
  0,1,1\dblrangle\dblrangle$ définit $\psi^{(2)}_e(x,z) = x+z$ sauf
  erreur (probable) de ma part.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Manipulation de programmes (version p.r.)}

\itempoint Penser à $e$ dans $\psi_e^{(k)}$ comme un programme écrit
en « langage p.r. ».

\medskip

\itempoint La fonction $\psi_e^{(k)}\colon \mathbb{N}^k \dasharrow
\mathbb{N}$ « interprète » le programme $e$.

\medskip

\centerline{*}

\bigskip

La numérotation (transp. précédent) rend p.r. beaucoup de
manipulations usuelles de programmes (composition, récursion, etc.).
Notamment :

\medskip

\itempoint\textbf{Théorème s-m-n} (Kleene) : il existe $s_{m,n} \colon
\mathbb{N}^{m+1} \to \mathbb{N}$ p.r. telle que
\[
\psi^{(n)}_{s_{m,n}(e,x_1,\ldots,x_m)}(y_1,\ldots,y_n) =
\psi^{(m+n)}_e(x_1,\ldots,x_m,\,y_1,\ldots,y_n)
\]

{\footnotesize\underline{Preuve :} $s_{m,n}(e,\underline{x}) =
  \dbllangle 3, n, e, \dbllangle 1, n, x_1\dblrangle, \ldots,
  \dbllangle 1, n, x_m\dblrangle, \; \dbllangle 0, n, 1\dblrangle,
  \ldots, \dbllangle 0, n, n\dblrangle \dblrangle$ avec nos
  conventions (composition de fonctions constantes et de
  projections).\qed\par}

\medskip

\emph{En clair :} $s_{m,n}$ prend un programme $e$ qui prend $m+n$
arguments en entrée et « fixe » la valeur des $m$ premiers arguments à
$x_1,\ldots,x_m$, les $n$ arguments suivants ($y_1,\ldots,y_n$) étant
gardés variables.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Digression : l'astuce de Quine (intuition)}

{\footnotesize Le nom de Willard Van Orman Quine (1908–2000) a été
  associé à cette astuce par Douglas Hofstadter.  En fait, l'astuce
  est plutôt due à Cantor, Turing ou Kleene.\par}

\smallskip

\textcolor{teal}{Les mots suivants suivis des mêmes mots entre
  guillemets forment une phrase intéressante : « les mots suivants
  suivis des mêmes mots entre guillemets forment une phrase
  intéressante ».}

\bigskip

Pseudocode :

\smallskip

{\footnotesize\texttt{%
str="somefunc(code) \{ /*...*/ \}\textbackslash nsomefunc(\textbackslash"str=\textbackslash"+quote(str)+str);\textbackslash n";\\
somefunc(code) \{ /*...*/ \}\\
somefunc("str="+quote(str)+str);
}\par}

\smallskip

$\Rightarrow$ La fonction \texttt{somefunc} (arbitraire) est appelée
avec le code source du programme tout entier.

\medskip

{\footnotesize\textbf{Exercice :} utiliser cette astuce pour écrire un
  programme écrivant son propre code source.\par}

\bigskip

\textbf{Moralité :} \alert{on peut toujours donner aux programmes
  accès à leur code source}, même si ce n'est pas prévu par le
langage.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Le théorème de récursion de Kleene (version p.r.)}

Version formelle de l'astuce de Quine

{\footnotesize (aussi appelé « théorème du point fixe » de Kleene)\par}

\smallskip

\itempoint\textbf{Théorème} (Kleene) : si $h \colon \mathbb{N}^{k+1}
\dasharrow \mathbb{N}$ est p.r., il existe $e$ tel que
\[
\psi^{(k)}_e(\underline{x}) = h(e,\underline{x})
\]
Plus précisément, il existe $b \colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$
p.r. telle que
\[
\psi^{(k)}_e(\underline{x}) = \psi^{(k+1)}_d(e,\underline{x})
\text{~si~}e := b(k,d)
\]

\bigskip

\underline{Preuve :} soit $s := s_{m,1}$ donné par le théorème s-m-n.
La fonction $(t,\underline{x}) \mapsto h(s(t,t),\underline{x})$ est
p.r., disons $= \psi_c^{(k+1)}(\underline{x})$.  Alors
\[
\psi_{s(c,c)}^{(k)}(\underline{x})
= \psi_{c}^{(k+1)}(c, \underline{x})
= h(s(c,c),\underline{x})
\]
donc $e := s(c,c)$ convient.  Les fonctions $d \mapsto c \mapsto e$
sont p.r.\qed

\bigskip

\textbf{Moralité :} \alert{on peut donner aux programmes accès à leur
  propre numéro} (= « code source »), cela ne change rien.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : pas d'universalité}

\itempoint\textbf{Théorème :} il n'existe pas de fonction
p.r. $u\colon \mathbb{N}^2 \to \mathbb{N}$ telle que $u(e,x) =
\psi^{(1)}_e(x)$ si $\psi^{(1)}_e(x)\downarrow$.

\bigskip

\underline{Preuve :} par l'absurde : si un tel $u$ existe, alors
$(e,x) \mapsto u(e,x)+1$ est p.r.  Par le théorème de récursion de
Kleene, il existe $e$ tel que $\psi^{(1)}_e(x) = u(e,x) + 1$, ce qui
contredit $u(e,x) = \psi^{(1)}_e(x)$.\qed

\medskip

\centerline{*}

\medskip

\textbf{Moralité :} \alert{un interpréteur du langage p.r. ne peut pas
  être p.r.} (preuve : on peut interpréter l'interpréteur
s'interprétant lui-même, en ajoutant un au résultat, ce qui donne un
paradoxe ; c'est un argument diagonal de Cantor).

\bigskip

\itempoint Cet argument dépend du théorème s-m-n et du fait que les
fonctions p.r. sont \alert{totales}.  Pour définir une théorie
satisfaisante de la calculabilité, on va sacrifier la totalité pour
sauver le théorème s-m-n.

{\footnotesize Cette même preuve donnera alors la preuve de
  l'indécidabilité du problème de l'arrêt.\par}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions primitives récursives : pas d'universalité (variante)}

Rappel : la \textbf{fonction d'Ackermann} est définie par :
\[
\begin{aligned}
A(m,n,0) &= m+n \\
A(m,1,k+1) &= m \\
A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]

\bigskip

\itempoint Pour un $k$ \alert{fixé}, la fonction $(m,n) \mapsto
A(m,n,k)$ est p.r. (par récurrence sur $k$, récursion primitive sur
$A(m,n,k-1)$).

\bigskip

\itempoint Il existe même $k \mapsto a(k)$ p.r. telle que
$\psi^{(2)}_{a(k)}(m,n) = A(m,n,k)$.

\smallskip

I.e., on peut calculer de façon p.r. en $k$ le code d'un programme
p.r. qui calcule $(m,n) \mapsto A(m,n,k)$.

\bigskip

\itempoint Si (une extension de) $(e,n) \mapsto \psi^{(1)}_e(n)$ était
p.r., on pourrait calculer $(n,k) \mapsto
\psi^{(1)}_{s_{1,1}(a(k),2)}(n) = \psi^{(2)}_{a(k)}(2,n) = A(2,n,k)$,
or elle n'est pas p.r.

\end{frame}
%
\section{Fonctions générales récursives}
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : aperçu}

\itempoint On a vu que les fonctions p.r. sont \alert{limitées} et ne
couvrent pas la notion générale d'algorithme :
\begin{itemize}
\item les algorithmes p.r. terminent toujours car
\item le langage ne permet pas de boucles non bornées ;
\item concrètement, il n'implémente pas la fonction d'Ackermann ;
\item il ne peut pas s'interpréter lui-même.
\end{itemize}

\bigskip

\itempoint On veut modifier la définition des fonctions p.r. pour
lever ces limitations.  On va \alert{autoriser les boucles infinies}.

\bigskip

\itempoint En ce faisant, on obtient forcément des cas de
non-terminaisons, donc on doit passer par des \alert{fonctions
  partielles}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{L'opérateur $\mu$ de Kleene}

\textbf{Définition :} $\mu g(\underline{x})$ est le plus petit $z$ tel
que $g(z,\underline{x}) = 0$ et $g(i,\underline{x})\downarrow$ pour
$0\leq i<z$, s'il existe.

\bigskip

Autrement dit, $\mu g(\underline{x}) = z$ signifie
\begin{itemize}
\item $g(z,\underline{x}) = 0$,
\item $g(i,\underline{x})>0$ (sous-entendant
  $g(i,\underline{x})\downarrow$) pour tout $0\leq i<z$.
\end{itemize}

\bigskip

Concrètement, penser à $\mu g$ comme la fonction

\texttt{i=0;  while (true) \{ if (g(i,x)==0) \{ return i; \}  i++; \}}

\bigskip

\itempoint Ceci permet toute sorte de \alert{recherche non bornée}.

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Fonctions générales récursives : définition}

\itempoint $\textbf{R}$ est la plus petite classe de fonctions
$\mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$, pour $k$ variable qui :
\begin{itemize}
\item contient les projections $\underline{x} := (x_1,\ldots,x_k)
  \mapsto x_i$ ;
\item contient les constantes $\underline{x} \mapsto c$ ;
\item contient la fonction successeur $x \mapsto x+1$ ;
\item est stable par composition : si $g_1,\ldots,g_\ell\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^\ell
  \dasharrow \mathbb{N}$ sont récursives alors $\underline{x} \mapsto
  h(g_1(\underline{x}),\ldots, g_\ell(\underline{x}))$ est récursive ;
\item est stable par récursion primitive : si $g\colon \mathbb{N}^k
  \dasharrow \mathbb{N}$ et $h\colon \mathbb{N}^{k+2} \dasharrow
  \mathbb{N}$ sont récursives, alors $f\colon \mathbb{N}^{k+1}
  \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive, où :
\[
\begin{aligned}
f(\underline{x},0) &= g(\underline{x})\\
f(\underline{x},z+1) &= h(\underline{x},f(\underline{x},z),z)
\end{aligned}
\]
\item est stable par l'opérateur $\mu$ : si $g\colon \mathbb{N}^{k+1}
  \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive, alors $\mu g\colon
  \mathbb{N}^k \dasharrow \mathbb{N}$ est récursive.
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Élimination de la récursivité}

Considérons une définition récursive du type (ceci n'est qu'un exemple) :
\[
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
g(x)&\text{~si~}t(x)=0\\
h(x,f(v(x)))&\text{~si~}t(x)\neq 0\\
\end{array}
\right.
\]
à comprendre comme l'algorithme évident

{\footnotesize\texttt{f(x) \{ if (t(x)==0) \{ return g(x); \} else \{
    return h(x,f(v(x))); \} \}}\par}

Comment voir que $f$ est générale récursive (si $t,g,h,v$ le sont) ?

\bigskip

\itempoint On définit une version avec un paramètre $N$ supplémentaire
(« profondeur de pile d'appels », « quantité essence ») :
\[
\begin{aligned}
\tilde f(0,x) &= 0\\
\tilde f(N+1,x) &= \left\{
\begin{array}{ll}
g(x)&\text{~si~}t(x)=0\\
h(x,\tilde f(N,v(x)))&\text{~si~}t(x)\neq 0\\
\end{array}
\right.\\
\end{aligned}
\]
et une fonction indiquant s'il faut plus de profondeur
\[
\begin{aligned}
w(0,x) &= 1\\
w(N+1,x) &= \left\{
\begin{array}{ll}
0&\text{~si~}t(x)=0\text{,~ou~bien~}t(x)\neq 0\text{~et~}w(N,v(x))=0\\
1&\text{~sinon}
\end{array}
\right.\\
\end{aligned}
\]

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Élimination de la récursivité (suite)}

Plus général\textsuperscript{t}, on transforme une fonction récursive
$f$ en $\tilde f$ avec un argument « profondeur » supplémentaire, avec
$\tilde f(0,\ldots)$ arbitraire, et chaque appel de $\tilde
f(N+1,\ldots)$ faisant faisant appel à $\tilde f(N,\ldots)$ dans la
récursion.  Quant à $w(N+1,\ldots)$ il vaut $0$ si tous les appels à
$\tilde f(N,\ldots)$ ont $w(N,\ldots)=0$, et $1$ sinon.

\medskip

Alors :
\begin{itemize}
\item $\tilde f$ et $w$ sont définis par récursion primitive,
\item $f(\underline{x}) = \tilde f(\mu w(\underline{x}), \underline{x})$
\end{itemize}

\end{frame}
%
\begin{frame}
\frametitle{Élimination de la récursivité (exemple)}

Exemple : la \textbf{fonction d'Ackermann} est définie par :
{\footnotesize
\[
\begin{aligned}
A(m,n,0) &= m+n \\
A(m,1,k+1) &= m \\
A(m,n+1,k+1) &= A(m,\,A(m,n,k+1),\,k)
\end{aligned}
\]
\par}

On transforme cette définition récursive en une définition par $\mu$ :

{\footnotesize
\[
\begin{aligned}
\tilde A(0,m,n,k) &= 0 \\
\tilde A(N+1,m,n,0) &= m+n \\
\tilde A(N+1,m,1,k+1) &= m \\
\tilde A(N+1,m,n+1,k+1) &= \tilde A(N,m,\,\tilde A(N,m,n,k+1),\,k)\\
w(0,m,n,k) &= 1 \\
w(N+1,m,n,0) &= 0 \\
w(N+1,m,1,k+1) &= 0 \\
w(N+1,m,n+1,k+1) &= w(N,m,n,k+1) \;\vee\; w(N,m,\,\tilde A(N,m,n,k+1),\,k)\\
A(m,n,k) &= \tilde A(\mu w(m,n,k), m,n,k)
\end{aligned}
\]
\par}

Ici $\tilde A$ et $w$ \alert{sont p.r.} et $A$ est générale récursive.

\end{frame}
%
\end{document}