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| author | david <david> | 2009-10-21 18:30:30 +0000 |
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diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index 67fbb30..944910c 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \maketitle {\footnotesize \begin{center} -CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.16 2009-10-21 18:17:11 david Exp $= +CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.17 2009-10-21 18:30:30 david Exp $= \end{center} \par} \pretolerance=10000 @@ -976,13 +976,24 @@ Complexit� des op�rations�: cf.�entiers. \subsection{Op�rations sp�cifiques aux polyn�mes} \textbf{�valuation} de polyn�mes�: si $f = a_0 + \cdots + a_N t^N$ et -$x \in A$ (une $k$-alg�bre, par exemple $k$ ou $k[t]$), on d�finit -$f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$. +$x$ est dans $k$ ou $k[t]$ (ou plus g�n�ralement une ��$k$-alg�bre��), +on d�finit $f(x) = a_0 + \cdots + a_N x^N$. Cas particulier�: \textbf{composition}�: si $g \in k[t]$, on note $f\circ g$ plut�t que $f(g)$. \medbreak +\textbf{Racines�:} si $f(x) = 0$ avec $x \in k$, on dit que $x$ est +une \emph{racine} du polyn�me�$f$. + +\textbf{Attention�:} On peut tr�s bien avoir $f(x) = 0$ pour tout $x +\in k$ sans pour autant que $f$ soit nul (e.g., $f = t^p - t$ dans +$\mathbb{F}_p[t]$). + +(Mais on va voir que si $k$ est un corps, le nombre de racines de $f$ +dans�$k$ est inf�rieur ou �gal au degr� de�$f$.) + +\medbreak \textbf{D�riv�e�:} si $f = a_0 + a_1 t + \cdots + a_N t^N$ alors $f' = a_1 + 2 a_2 t + \cdots + N a_N t^{N-1}$. @@ -1009,6 +1020,9 @@ f = \sum_{i=0}^N b_i \frac{\prod_{j\neq i}(t-a_j)}{\prod_{j\neq i}(a_i-a_j)} Permet de reconstruire un polyn�me � partir de ses valeurs en suffisamment de points. +Ceci assure notamment que si $f$ s'annule en $N+1$ points (o� $N \geq +\deg f$) alors $f$ est le polyn�me nul. + \medbreak Si $N \geq \deg f$ et $N!$ n'est pas nul dans�$k$, alors pour tout @@ -1069,11 +1083,16 @@ t) + 2 t$.) \subsection{Arithm�tique des polyn�mes} Relation de \textbf{divisibilit�}�: exactement analogue aux entiers. -Les \textbf{unit�s} de $k[t]$ sont les �l�ments de $k^\times$ -(polyn�mes constants non nuls). +Dire qu'un polyn�me $f$ admet $a$ pour racine signifie exactement que +$t-a$ divise�$f$. + +Les \textbf{unit�s} (ou inversibles) de $k[t]$ sont les �l�ments de +$k^\times$ (polyn�mes constants non nuls). Polyn�mes \textbf{irr�ductibles}�: d�finition analogue aux nombres -premiers. On les choisira normalement \emph{unitaires}�; par +premiers�: on dit que $f$ est irr�ductible lorsque $\deg f \geq 1$ et +qu'il n'existe pas d'�criture $f = gh$ avec $\deg g \geq 1$ et $\deg h +\geq 1$. On les choisira normalement \emph{unitaires}�; par convention, $0$ et les constantes ne sont pas irr�ductibles. Les polyn�mes $t-a$ (unitaires de degr�$1$) sont \emph{toujours} irr�ductibles. Lorsque ce sont les seuls, le corps $k$ est dit @@ -1102,35 +1121,48 @@ est l'ordre du z�ro de $f$ en $a$. PGCD, algorithme d'Euclide, relations de B�zout, Euclide �tendu�: exactement analogue aux entiers. +Attention cependant�: de m�me que le pgcd de deux entiers est choisi +positif par convention, le pgcd de deux polyn�mes est choisi unitaire +par convention. Dans l'algorithme d'Euclide, si le reste final est +une \emph{constante} non nulle (pas n�cessairement�$1$), les polyn�mes +sont premiers entre eux (par exemple, le pgcd de $t+2$ et $t$ dans +$\mathbb{R}[t]$ est $1$, ces polyn�mes sont premiers entre eux, m�me +si le reste de la division de $t+2$ par�$t$ est�$2$). + % \subsection{Anneaux $k[t]/(P)$} -Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Vision abstraite�: -$f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$�divise�$f-g$, et on quotiente. Vision -concr�te�: se ramener � $\deg f < \deg P$ par division euclidienne -apr�s chaque op�ration. +Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Vision abstraite�: on +d�finit $f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$�divise�$f-g$, et on quotiente. +Vision concr�te�: se ramener � $\deg f < \deg P$ par division +euclidienne apr�s chaque op�ration. + +Les �l�ments de $k$ se voient comme des �l�ments de $k[t]/(P)$ (les +constantes). -�l�ment tr�s important�: $\bar t$. +�l�ment tr�s important�: $\bar t$. Il v�rifie $P(\bar t) = 0$. -C'est un espace vectoriel de dimension $\deg P$ sur�$k$. Si $k$ est -fini alors $k[t]/(P)$ l'est (de cardinal $(\#k)^{\deg P}$). +Si on sait ce que �a signifie�: $k[t]/(P)$ est un espace vectoriel de +dimension $\deg P$ sur�$k$. Si $k$ est fini alors $k[t]/(P)$ est +aussi fini (de cardinal $(\#k)^{\deg P}$). Th�or�me chinois�: si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a -$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (m�me d�mo qu'avant, -avec un petit peu d'alg�bre lin�aire). +$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (m�me d�monstration que +pour les entiers, avec un petit peu d'alg�bre lin�aire). -Exemple idiot�: $k[t]/(t) \cong k$. Exemples moins idiot�: +Exemple idiot�: $k[t]/(t) \cong k$ (ici, $\bar t = 0$). En fait, +$k[t]/(t-a) \cong k$ o� $\bar t$ devient�$a$. Exemples moins idiot�: $\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1) -\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (th�or�me chinois�; noter que ce -n'est pas un corps). +\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (th�or�me chinois en utilisant la +factorisation $t^2-1=(t-1)(t+1)$�; noter que ce n'est pas un corps). Exercice�: dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$. \medskip \textbf{Important�:} $k[t]/(P)$ est un corps \emph{si et seulement si} -$P \in k[t]$ est irr�ductible. Lorsque c'est le cas, on dit que c'est -le \textbf{corps de rupture} de�$P$ sur�$k$. +$P \in k[t]$ est irr�ductible. Lorsque c'est le cas, on l'appelle +\textbf{corps de rupture} de�$P$ sur�$k$. % \section{Corps finis} |