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diff --git a/controle-20081202.tex b/controle-20081202.tex index 44a0052..34e3bd1 100644 --- a/controle-20081202.tex +++ b/controle-20081202.tex @@ -43,15 +43,23 @@ Les exercices sont compl�tement ind�pendants. Ils pourront �tre trait�s dans un ordre quelconque, mais on demande de faire appara�tre de fa�on tr�s visible dans les copies o� commence chaque exercice. � l'int�rieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans -un ordre logique, et il est recommand� de les traiter dans cet ordre. +un ordre logique, et il est vivement recommand� de les traiter dans +cet ordre. + +Le sujet �tant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne +sera pas n�cessaire de traiter tous les exercices pour avoir le +maximum des points. Il est sugg�r� de prendre le temps de tous les +lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera. + +Il n'est pas n�cessaire de faire des r�ponses longues. L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprim�es, livres) est autoris�e. -L'usage des calculatrices �lectroniques n'est pas autoris�e. -(Certains exercices peuvent appara�tre calculatoires, mais les calculs -sont toujours faisables � la main en un temps raisonnable, parfois au -prix de quelques astuces.) +L'usage des calculatrices �lectroniques est interdites. (Certains +exercices peuvent appara�tre calculatoires, mais les calculs sont +toujours faisables � la main en un temps raisonnable, parfois au prix +de quelques astuces.) \newpage @@ -251,10 +259,37 @@ cas�($\ddagger$). \exercice +Soit $p$ un nombre premier congru � $5$ modulo�$6$. + +(1)�Y a-t-il des �l�ments d'ordre�$3$ dans $\mathbb{F}_p^\times$�? +Quelles sont les solutions de $z^3 = 1$ dans $\mathbb{F}_p$�? + +(2)�Montrer que l'application $\mathbb{F}_p \to \mathbb{F}_p$ d�finie +par $x \mapsto x^3$ est une bijection (c'est-�-dire que chaque valeur +de la cible est atteinte une et une seule fois). + +(3)�Si $a \in \mathbb{F}_p^\times$, � quoi est isomorphe +$\mathbb{F}_p[t] / (t^3-a)$�? + +% +% +% + +\exercice + Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien d'�l�ments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs�? % % % + +\exercice + +Le polyn�me $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est-il irr�ductible�? +Est-il primitif�? + +% +% +% \end{document} |