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diff --git a/exercices2.tex b/exercices2.tex index 89f8b69..c36ddd2 100644 --- a/exercices2.tex +++ b/exercices2.tex @@ -256,4 +256,37 @@ t^2+\bar t+1$. % % % + +\exercice + +Calculer le pgcd dans $\mathbb{F}_{11}[t]$ de $t^2 - 2$ et $t^{11}-t$. +En déduire que $2$ n'est pas un carré dans $\mathbb{F}_{11}$ +(c'est-à-dire qu'il n'existe pas de $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel +que $\alpha^2 = 2$ ; indication : de quels polynômes intéressants +$\alpha$ serait-il racine ?). + +\begin{corrige} +On calcule les divisions euclidiennes successives : $t^{11}-t = (t^9 + +2t^7 + 4t^5 - 3t^3 + 5t)\penalty0 (t^2-2) + 9t$, puis $t^2-2 = +(5t)(9t) - 2$, le dernier reste est une constante donc le pgcd +vaut $1$. + +S'il y avait un $\alpha \in \mathbb{F}_{11}$ tel que $\alpha^2 = 2$, +alors il serait racine à la fois de $t^2 - 2$ en vertu de +$\alpha^2=2$, et $t^{11} - t$ en vertu de $\alpha\in\mathbb{F}_{11}$ +(et du petit théorème de Fermat). C'est-à-dire que $t-\alpha$ serait +un facteur commu à $t^2-2$ et $t^{11}-t$, et on vient de voir qu'il +n'y en a pas. + +\emph{Remarque :} Vérifier que $t^2-2$ et $t^{11}-t$ sont premiers +entre eux est une des parties du critère de Rabin pour vérifier que +$t^2-2$ est irréductible. Ici, il n'y a pas besoin d'en faire plus : +comme $t^2-2$ n'a pas de racine, cela signifie qu'il n'a pas de +facteur de degré $1$, et comme il est de degré $2$, il est +irréductible. +\end{corrige} + +% +% +% \end{document} |