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diff --git a/controle-20081202.tex b/controle-20081202.tex index 7710f9f..094350a 100644 --- a/controle-20081202.tex +++ b/controle-20081202.tex @@ -148,6 +148,34 @@ d'années faut-il attendre approximativement, à partir d'un jour donné, pour retrouver pour la première fois un jour ayant la même dénomination dans les deux calendriers (Tzolkin et Haab) à la fois ? +\begin{corrige} +(1) Le cycle complet du Tzolkin est le plus petit nombre multiple à la + fois de $13$ (à cause du cycle de $13$ jours) et de $20$ (à cause du + cycle de $20$ jours), c'est-à-dire le ppcm de $13$ et de $20$. + Comme $13$ et $20$ sont premiers entre eux, c'est $13\times 20 = + 260$. + +(2) Si le prochain jour « 10 Oc » a lieu $n$ jours après le + 2 décembre 2008 (6 Ahau), alors $n \equiv 4 \pmod{13}$ puisque dans + le cycle de $13$ jours on est passé de $6$ à $10$, et $n \equiv 10 + \pmod{20}$ puisqu'on est $10$ dieux plus loin dans le cycle de + $20$ jours. On a la relation de Bézout $2\times 20 - 3\times 13 = + 1$, donc $n$ est congru à $(4 \times 2) \times 20 - (10 \times 3) + \times 13$ modulo $260$ : dans cette expression, il suffit de + calculer $10\times 3$ modulo $20$ (c'est $10$), on trouve donc + $8\times 20 - 10\times 13 = 160-130 = 30$ (on vérifie $30 \equiv 4 + \pmod{13}$ et $30 \equiv 10 \pmod{20}$) : le prochain « 10 Oc » a + donc lieu $30$ jours après le 2 décembre 2008 (c'est-à-dire le + 1er janvier 2009). + +(3) Le cycle complet du calendrier (Tzolkin+Haab) est le plus petit + nombre multiple à la fois de $260$ (à cause du Tzolkin) et de $365$ + (à cause du Haab), c'est-à-dire le ppcm de $260 = 2^2\times 5 \times + 13$ et de $365 = 5 \times 73$ : c'est donc $2^2\times 5 \times 13 + \times 73$, c'est-à-dire $2^2\times 13\times 365$ jours, ou encore + environ $2^2\times 13 = 52$ ans. +\end{corrige} + % % % |