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| -rw-r--r-- | controle-20081202.tex | 45 |
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diff --git a/controle-20081202.tex b/controle-20081202.tex index 44a0052..34e3bd1 100644 --- a/controle-20081202.tex +++ b/controle-20081202.tex @@ -43,15 +43,23 @@ Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. À l'intérieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans -un ordre logique, et il est recommandé de les traiter dans cet ordre. +un ordre logique, et il est vivement recommandé de les traiter dans +cet ordre. + +Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne +sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le +maximum des points. Il est suggéré de prendre le temps de tous les +lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera. + +Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou imprimées, livres) est autorisée. -L'usage des calculatrices électroniques n'est pas autorisée. -(Certains exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs -sont toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au -prix de quelques astuces.) +L'usage des calculatrices électroniques est interdites. (Certains +exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont +toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix +de quelques astuces.) \newpage @@ -251,10 +259,37 @@ cas ($\ddagger$). \exercice +Soit $p$ un nombre premier congru à $5$ modulo $6$. + +(1) Y a-t-il des éléments d'ordre $3$ dans $\mathbb{F}_p^\times$ ? +Quelles sont les solutions de $z^3 = 1$ dans $\mathbb{F}_p$ ? + +(2) Montrer que l'application $\mathbb{F}_p \to \mathbb{F}_p$ définie +par $x \mapsto x^3$ est une bijection (c'est-à-dire que chaque valeur +de la cible est atteinte une et une seule fois). + +(3) Si $a \in \mathbb{F}_p^\times$, à quoi est isomorphe +$\mathbb{F}_p[t] / (t^3-a)$ ? + +% +% +% + +\exercice + Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ? % % % + +\exercice + +Le polynôme $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est-il irréductible ? +Est-il primitif ? + +% +% +% \end{document} |