diff options
| -rw-r--r-- | rappels-maths.tex | 25 |
1 files changed, 14 insertions, 11 deletions
diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index 16f0802..1c48796 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -41,7 +41,7 @@ \maketitle {\footnotesize \begin{center} -CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.8 2008-10-19 22:44:33 david Exp $= +CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.9 2008-10-19 22:53:13 david Exp $= \end{center} \par} \pretolerance=10000 @@ -1076,11 +1076,11 @@ polyn�me $f \in \mathbb{F}_p[t]$ irr�ductible de degr�$d$ Si $q = p^d$ et $q' = p^{\prime d'}$, alors $\mathbb{F}_q$ est contenu dans $\mathbb{F}_{q'}$ (plus proprement�: $\mathbb{F}_{q'}$ contient un sous-corps ayant $q$ �l�ments) si et seulement si�: (1)�$p=p'$ et -(2)�$d|d'$. Cela �quivaut encore �: $q'$ est une puissance de�$q$. -(Exemple�: $\mathbb{F}_4$ est contenu dans $\mathbb{F}_{16}$ mais pas -dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le cas, alors $\mathbb{F}_{q'} -\cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain polyn�me $f \in -\mathbb{F}_q[t]$ irr�ductible de degr�$d'/d$. +(2)�$d|d'$. Cela �quivaut encore �: $q'$ est une puissance de�$q$, +soit $q' = q^e$. (Exemple�: $\mathbb{F}_4$ est contenu dans +$\mathbb{F}_{16}$ mais pas dans $\mathbb{F}_8$.) Lorsque c'est le +cas, alors $\mathbb{F}_{q'} \cong \mathbb{F}_q[t]/(f)$ pour un certain +polyn�me $f \in \mathbb{F}_q[t]$ irr�ductible de degr�$e = d'/d$. On va voir plus loin comment tester l'irr�ductibilit� d'un polyn�me sur un corps fini, et comment en produire. @@ -1089,7 +1089,8 @@ sur un corps fini, et comment en produire. \subsection{Polyn�me minimal} [Dans les quelques sections qui suivent, le cas important est $q = p$ - premier. On peut ignorer le cas plus g�n�ral.] + premier (lire alors $p^d$ pour $q^e$). On peut ignorer le cas plus + g�n�ral.] Rappel�: dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$ (avec $f$ irr�ductible unitaire pour fixer les id�es), on a $f(\bar t) = 0$, c'est-�-dire que $\bar t$ @@ -1100,7 +1101,7 @@ d'un unique polyn�me irr�ductible unitaire sur $\mathbb{F}_q$, et celui-ci est de degr� divisant�$e$. Ce polyn�me s'appelle \textbf{polyn�me minimal} de�$x$ -sur�$\mathbb{F}_q$, et son degr�($\leq e$, donc) s'appelle le +sur�$\mathbb{F}_q$, et son degr�(divisant�$e$, donc) s'appelle le \textbf{degr�} de�$x$ sur�$\mathbb{F}_q$. Naturellement, dans $\mathbb{F}_q[t]/(f)$, avec $f$ irr�ductible @@ -1142,10 +1143,11 @@ suivantes�: \item $x$ et $x'$ ont le m�me polyn�me minimal sur $\mathbb{F}_q$, \item il existe $i$ (qu'on peut prendre entre $0$ et $e-1$) tel que $x' = x^{q^i}$ (=�on passe de l'un � l'autre en appliquant - suffisamment de fois le Frobenius). + suffisamment de fois le Frobenius�$\Frob_q$). \end{itemize} Le nombre d'�l�ments conjugu�s �$x$ (en comptant�$x$ lui-m�me) est le -degr� de�$x$. On parle d'un ensemble complet de conjugu�s. +degr� de�$x$. On parle d'un ensemble complet de conjugu�s +(sur�$\mathbb{F}_q$). % \subsection{Factorisation de $t^{q^e}-t$} @@ -1176,7 +1178,8 @@ Le nombre de polyn�mes irr�ductibles unitaires de degr�$e$ dans $\mathbb{F}_q[t]$ est approximativement $\frac{1}{e}q^e$ (l'erreur est $O(q^{e/2})$). Autrement dit, la probabilit� qu'un polyn�me unitaire al�atoire dans $\mathbb{F}_q[t]$ soit irr�ductible est -environ�$\frac{1}{e}$. (Cf.�th�or�me des nombres premiers.) +environ�$\frac{1}{e}$ o� $e$ est son degr�. (Cf.�th�or�me des nombres +premiers.) \medbreak |