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diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex index 13ac0c2..8a99e0b 100644 --- a/controle-20091124.tex +++ b/controle-20091124.tex @@ -53,10 +53,13 @@ Les exercices sont compl�tement ind�pendants. Ils pourront �tre trait�s dans un ordre quelconque, mais on demande de faire appara�tre -de fa�on tr�s visible dans les copies o� commence chaque exercice. � -l'int�rieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans -un ordre logique, et il est vivement recommand� de les traiter dans -cet ordre. +de fa�on tr�s visible dans les copies o� commence chaque exercice. + +� l'int�rieur d'un exercice donn� (sauf l'exercice�3), les parties +A,B,C..., sont encore essentiellement ind�pendantes, mais comme elles +peuvent se ressembler et s'�clairer les unes les autres il est +recommand� de les traiter dans l'ordre. Les questions +1,2,3... d�pendent les unes des autres. Le sujet �tant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne sera pas n�cessaire de traiter tous les exercices pour avoir le @@ -66,9 +69,9 @@ lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera. Il n'est pas n�cessaire de faire des r�ponses longues. L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou -imprim�es, livres) est autoris�e. +imprim�es, livres) est autoris�. -L'usage des calculatrices �lectroniques est interdite. (Certains +L'usage des calculatrices �lectroniques est interdit. (Certains exercices peuvent appara�tre calculatoires, mais les calculs sont toujours faisables � la main en un temps raisonnable, parfois au prix de quelques astuces.) @@ -93,12 +96,12 @@ euclidienne par�$9$ d'un entier naturel �crit en d�cimal�? $745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,507\,306\,660$. (B)�(1)�� quoi est congru $10^n$ modulo�$11$ (en fonction -�ventuellement de l'entier naturel�$n$)�? (2)�Comment faire pour -calculer tr�s simplement le reste de la division euclidienne par�$11$ -d'un entier naturel �crit en d�cimal�? (Remarque�: le nombre $10$ -peut s'�crire d'une mani�re tr�s simple modulo�$11$...) (3)�Montrer -que la multiplication suivante est encore erron�e�: $745\,330\,964 -\times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$. +�ventuellement de l'entier naturel�$n$)�? (Remarque�: le nombre $10$ +peut s'�crire d'une mani�re tr�s simple modulo�$11$...) (2)�Comment +faire pour calculer tr�s simplement le reste de la division +euclidienne par�$11$ d'un entier naturel �crit en d�cimal�? +(3)�Montrer que la multiplication suivante est encore erron�e�: +$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$. (C)�(1)�� quoi est congru $10^n$ modulo�$7$, selon la valeur de�$n$�? (2)�Proposer une m�thode (moins simple que celles donn�es en A�et�B, @@ -179,8 +182,10 @@ $\bar t$ est-il primitif dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^5 + t^2 + 1)$�? $\mathbb{F}_2[t]$�: on a $t^{19}+1 = {(t+1)} \penalty0\, {(t^{18}+t^{17}+t^{16} + \cdots + t^3+t^2+t+1)}$. On appellera $\Phi_{19}$ le second facteur ($t^{18}+\cdots+t+1$). On \emph{admet} -que $\Phi_{19}$ est irr�ductible dans�$\mathbb{F}_2[t]$. (2)�Quel est -l'ordre multiplicatif de l'�l�ment $\bar t$ (repr�sent par�$t$) dans +que $\Phi_{19}$ est irr�ductible dans�$\mathbb{F}_2[t]$. + +\leavevmode\hphantom{(D)}�(2)�Quel est l'ordre multiplicatif de +l'�l�ment $\bar t$ (repr�sent par�$t$) dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^{19}+1)$�? Dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$�? Quel est le nombre d'�l�ments de ce dernier (on ne demande pas de l'�crire en d�cimal)�? Est-ce un corps�? L'�l�ment $\bar t$ est-il |