summaryrefslogtreecommitdiffstats
diff options
context:
space:
mode:
-rw-r--r--controle-20091124.tex33
1 files changed, 19 insertions, 14 deletions
diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex
index 13ac0c2..8a99e0b 100644
--- a/controle-20091124.tex
+++ b/controle-20091124.tex
@@ -53,10 +53,13 @@
Les exercices sont compl�tement ind�pendants. Ils pourront �tre
trait�s dans un ordre quelconque, mais on demande de faire appara�tre
-de fa�on tr�s visible dans les copies o� commence chaque exercice. �
-l'int�rieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans
-un ordre logique, et il est vivement recommand� de les traiter dans
-cet ordre.
+de fa�on tr�s visible dans les copies o� commence chaque exercice.
+
+� l'int�rieur d'un exercice donn� (sauf l'exercice�3), les parties
+A,B,C..., sont encore essentiellement ind�pendantes, mais comme elles
+peuvent se ressembler et s'�clairer les unes les autres il est
+recommand� de les traiter dans l'ordre. Les questions
+1,2,3... d�pendent les unes des autres.
Le sujet �tant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne
sera pas n�cessaire de traiter tous les exercices pour avoir le
@@ -66,9 +69,9 @@ lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera.
Il n'est pas n�cessaire de faire des r�ponses longues.
L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou
-imprim�es, livres) est autoris�e.
+imprim�es, livres) est autoris�.
-L'usage des calculatrices �lectroniques est interdite. (Certains
+L'usage des calculatrices �lectroniques est interdit. (Certains
exercices peuvent appara�tre calculatoires, mais les calculs sont
toujours faisables � la main en un temps raisonnable, parfois au prix
de quelques astuces.)
@@ -93,12 +96,12 @@ euclidienne par�$9$ d'un entier naturel �crit en d�cimal�?
$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,507\,306\,660$.
(B)�(1)�� quoi est congru $10^n$ modulo�$11$ (en fonction
-�ventuellement de l'entier naturel�$n$)�? (2)�Comment faire pour
-calculer tr�s simplement le reste de la division euclidienne par�$11$
-d'un entier naturel �crit en d�cimal�? (Remarque�: le nombre $10$
-peut s'�crire d'une mani�re tr�s simple modulo�$11$...) (3)�Montrer
-que la multiplication suivante est encore erron�e�: $745\,330\,964
-\times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$.
+�ventuellement de l'entier naturel�$n$)�? (Remarque�: le nombre $10$
+peut s'�crire d'une mani�re tr�s simple modulo�$11$...) (2)�Comment
+faire pour calculer tr�s simplement le reste de la division
+euclidienne par�$11$ d'un entier naturel �crit en d�cimal�?
+(3)�Montrer que la multiplication suivante est encore erron�e�:
+$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$.
(C)�(1)�� quoi est congru $10^n$ modulo�$7$, selon la valeur de�$n$�?
(2)�Proposer une m�thode (moins simple que celles donn�es en A�et�B,
@@ -179,8 +182,10 @@ $\bar t$ est-il primitif dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^5 + t^2 + 1)$�?
$\mathbb{F}_2[t]$�: on a $t^{19}+1 = {(t+1)} \penalty0\,
{(t^{18}+t^{17}+t^{16} + \cdots + t^3+t^2+t+1)}$. On appellera
$\Phi_{19}$ le second facteur ($t^{18}+\cdots+t+1$). On \emph{admet}
-que $\Phi_{19}$ est irr�ductible dans�$\mathbb{F}_2[t]$. (2)�Quel est
-l'ordre multiplicatif de l'�l�ment $\bar t$ (repr�sent par�$t$) dans
+que $\Phi_{19}$ est irr�ductible dans�$\mathbb{F}_2[t]$.
+
+\leavevmode\hphantom{(D)}�(2)�Quel est l'ordre multiplicatif de
+l'�l�ment $\bar t$ (repr�sent par�$t$) dans
$\mathbb{F}_2[t]/(t^{19}+1)$�? Dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$�?
Quel est le nombre d'�l�ments de ce dernier (on ne demande pas de
l'�crire en d�cimal)�? Est-ce un corps�? L'�l�ment $\bar t$ est-il