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diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex index 0ed9d5c..db39926 100644 --- a/controle-20101123.tex +++ b/controle-20101123.tex @@ -2,6 +2,7 @@ \documentclass[12pt]{article} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{times} % A tribute to the worthy AMS: \usepackage{amsmath} @@ -111,4 +112,38 @@ ci-dessus.) % % % + +\exercice + +On admet que le polynôme suivant dans $\mathbb{F}_2[t]$ est +irréductible : $f := t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1$. + +(1) Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$ ? Que +peut-on en dire et comment a-t-on l'habitude de le noter ? + +(2) Dans $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, calculer les puissances $\bar t^i$ de +l'élément $\bar t$ représenté par $t$, pour $i$ allant de $0$ à $20$ +inclus. (Ici, « calculer » sous-entend qu'on demande comme d'habitude +le représentant standard, c'est-à-dire celui donné par un polynôme de +degré $<\deg f$.) + +(3) On a $255 = 3 \times 5 \times 17$. L'élément $\bar t$ est-il +primitif ? Si non, quel est son ordre multiplicatif ? Si oui, +comment qualifie-t-on le polynôme $f$ du fait de cette propriété ? + +(4) Donner un élément primitif de $\mathbb{F}_2[t]/(f)$, différent de +$\bar t$ (si on a répondu ci-dessus que $\bar t$ était primitif). +Combien y en a-t-il ? + +(5) Quels sont les éléments $\bar\imath$ de $\mathbb{Z}/255\mathbb{Z}$ +vérifiant $15\bar\imath = \bar0$ ? Quels sont les éléments de +$\mathbb{F}_2[t]/(f)$ vérifiant $x^{16} = x$ ? (Cette fois-ci, on ne +demande pas nécessairement de les écrire sous la forme d'un +représentant standard : n'importe quelle autre écriture conviendra.) +Combien y en a-t-il et que peut-on dire de l'ensemble de ces +éléments ? + +% +% +% \end{document} |