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diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex index 8a99e0b..dbecd31 100644 --- a/controle-20091124.tex +++ b/controle-20091124.tex @@ -29,7 +29,7 @@ \corrigefalse \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% -\smallbreak\noindent{\textit{Corrigé.}\quad}} +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} {{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% \ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} % @@ -168,8 +168,8 @@ $\mathbb{F}_9$ à $9$ éléments. (3) Quels en sont les éléments primitifs ? (B) (1) Donner une racine, puis la décomposition en facteurs -irréductibles, de $t^2 + t + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$. (2) Que peut-on -dire de $\mathbb{F}_3[t]/(t^2 + t + 1)$ ? (Plusieurs réponses +irréductibles, de $t^2 + t \in \mathbb{F}_3[t]$. (2) Que peut-on +dire de $\mathbb{F}_3[t]/(t^2 + t)$ ? (Plusieurs réponses possibles.) (C) (1) Montrer que le polynôme $t^5 + t^2 + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$ @@ -185,13 +185,15 @@ $\Phi_{19}$ le second facteur ($t^{18}+\cdots+t+1$). On \emph{admet} que $\Phi_{19}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. \leavevmode\hphantom{(D)} (2) Quel est l'ordre multiplicatif de -l'élément $\bar t$ (représent par $t$) dans +l'élément $\bar t$ (représenté par $t$) dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^{19}+1)$ ? Dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$ ? -Quel est le nombre d'éléments de ce dernier (on ne demande pas de -l'écrire en décimal) ? Est-ce un corps ? L'élément $\bar t$ est-il -primitif (on parle toujours dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$) ? -Question subsidiaire, plus difficile : quelle est la décomposition en -facteurs irréductibles du polynôme $\Phi_{19}(X)$ vu comme polynôme +Quel est le nombre d'éléments de $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$ (on ne +demande pas de l'écrire en décimal) ? Est-ce un corps ? L'élément +$\bar t$ est-il primitif (on parle toujours +dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$) ? Question subsidiaire, plus +difficile : quelle est la décomposition en facteurs irréductibles du +polynôme $\Phi_{19}(X) = X^{18} + X^{17} + \cdots + X + 1$ vu comme +polynôme (en la nouvelle indéterminée $X$) sur $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$ ? (On pourra par exemple chercher une racine, puis une façon d'en produire de nouvelles.) |