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diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex new file mode 100644 index 0000000..0ed9d5c --- /dev/null +++ b/controle-20101123.tex @@ -0,0 +1,114 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\newcommand{\limp}{\mathrel{\Rightarrow}} +\newcommand{\liff}{\mathrel{\Longleftrightarrow}} +\newcommand{\pgcd}{\operatorname{pgcd}} +\newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} +\newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} +\newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} +% +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance --- Corrigé\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\else +\title{INFMDI720\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Rappels mathématiques pour la cryptographie}} +\fi +\author{} +\date{23 novembre 2010} +\maketitle +\pretolerance=10000 +\tolerance=8000 + +\vskip1truein\relax + +\textbf{Consignes :} + +Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être +traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître +de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne +sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le +maximum des points. Il est suggéré de prendre le temps de tous les +lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera. + +Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, livres) est autorisé. + +L'usage des calculatrices électroniques est interdit. (Certains +exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont +toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix +de quelques astuces.) + +Durée : 1h30 + +\newpage + +% +% +% + +\exercice + +(A) Quel entier entre $1500$ et $2500$ est congru à $36$ modulo $47$ +et à $49$ modulo $53$ ? + +(B) Quel est le plus petit entier naturel multiple de $9$ et de $11$ +et congru à $6$ modulo $10$ ? + +(C) Quels sont les entier entre $0$ et $100$ congrus à $6$ modulo $18$ +et à $15$ modulo $27$ ? + +(D) Quels sont les entier entre $0$ et $9000$ congrus à $18$ +modulo $91$ et à $24$ modulo $105$ ? + +% +% +% + +\exercice + +On a $561 = 3\times 11\times 17$. + +(1) Montrer que $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ pour tout entier $n$, et +de même $\mathop{\mathrm{mod}} 11$ et $\mathop{\mathrm{mod}} 17$. +(Indication : la réponse à cette question doit faire intervenir le +nombre $560$ et \emph{non pas} la factorisation de $561$ donnée +ci-dessus.) + +(2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$. + +% +% +% +\end{document} |