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diff --git a/controle-20111122.tex b/controle-20111122.tex index bbc1c7a..4a85454 100644 --- a/controle-20111122.tex +++ b/controle-20111122.tex @@ -28,7 +28,7 @@ \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % \newif\ifcorrige -\corrigetrue +\corrigefalse \newenvironment{corrige}% {\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% \smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} @@ -181,6 +181,113 @@ factorisant, c'est-à-dire que ce produit vaut $u + v\sqrt{-1}$ avec $u = u_1 u_2 - v_1 v_2$ et $v = u_1 v_2 + v_1 u_2$. \end{corrige} +(8) Que vaut $(\sqrt{-1})^4$ ? Déterminer $(\sqrt{-1})^r$ en +discutant suivant la valeur de l'entier $r$ modulo $4$. + +\begin{corrige} +On a $(\sqrt{-1})^4 = (-1)^2 = 1$ : si on veut, l'élément $\sqrt{-1}$ +de $E^\times$ est d'ordre (multiplicatif) $4$. Par conséquent, la +valeur de $(\sqrt{-1})^r$ ne dépend que de la classe de $r$ +modulo $4$. Selon que $r$ est congru à $0$, $1$, $2$ ou $3$ +modulo $4$, la valeur en question est respectivement $(\sqrt{-1})^0 = +1$, $(\sqrt{-1})^1 = \sqrt{-1}$, $(\sqrt{-1})^2 = -1$, ou +$(\sqrt{-1})^3 = -\sqrt{-1}$. +\end{corrige} + +On rappelle que $\Frob \colon E \to E$ désigne l'application $x +\mapsto x^p$. + +(9) D'après la question précédente, que vaut $\Frob(\sqrt{-1})$ ? + +\begin{corrige} +On a $p \equiv 3 \pmod{4}$ par hypothèse, donc $\Frob(\sqrt{-1}) = +(\sqrt{-1})^p = -\sqrt{-1}$ d'après la question (8). +\end{corrige} + +On rappelle pour la question suivante que $\Frob(x+y) = +\Frob(x)+\Frob(y)$ et $\Frob(xy) = \Frob(x)\,\Frob(y)$ pour tous +$x,y\in E$ (« le Frobenius est un morphisme de corps »), et aussi que +$\Frob(a) = a$ si et seulement si $a \in \mathbb{F}_p$ (petit théorème +de Fermat). + +(10) Que vaut $\Frob(u + v\sqrt{-1})$ si $u,v \in \mathbb{F}_p$ ? + +\begin{corrige} +On vient de voir que $\Frob(\sqrt{-1}) = -\sqrt{-1}$, et par ailleurs +$\Frob(u) = u$ et $\Frob(v) = v$ puisque $u,v \in \mathbb{F}_p$. En +utilisant les propriétés rappelées, on a donc $\Frob(u+v\sqrt{-1}) = +u-v\sqrt{-1}$. +\end{corrige} + +(11) En utilisant notamment la question précédente, montrer que l'on +a : $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = u^2 + v^2$ pour tous $u,v \in +\mathbb{F}_p$. + +\begin{corrige} +On vient de voir que $\Frob(u+v\sqrt{-1}) = u-v\sqrt{-1}$. On a +$(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = (u+v\sqrt{-1}) \, (u+v\sqrt{-1})^p = +(u+v\sqrt{-1}) \, \Frob(u+v\sqrt{-1}) = (u+v\sqrt{-1}) \, +(u-v\sqrt{-1}) = u^2 + v^2$ (en utilisant les formules de la +question (7)). +\end{corrige} + +(12) Rappeler pourquoi il existe un élément $g$ de $E^\times$ d'ordre +multiplicatif $p^2-1$ (on ne demande pas de démontrer ce fait, mais de +citer un théorème qui l'affirme) ; comment appelle-t-on un tel +élément ? + +\begin{corrige} +Un tel élément s'appelle un élément primitif. Il existe car le groupe +multiplicatif $E^\times$ des éléments non nuls de $E$, +d'ordre $p^2-1$, est cyclique (comme l'est le groupe multiplicatif +pour n'importe quel corps fini). +\end{corrige} + +Pour $r$ entier, on définit $u_r,v_r$, éléments de $\mathbb{F}_p$, par +la formule : $u_r + v_r\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$, où $g$ est un élément +comme dans la question précédente. + +(13) Que vaut $u_r^2 + v_r^2$ ? Expliquer pourquoi les $(u_r,v_r)$ +avec $0 \leq r \leq p$ sont deux-à-deux distincts. + +\begin{corrige} +D'après (11), on a $u_r^2 + v_r^2 = (g^{r(p-1)})^{p+1} = +g^{r(p^2-1)}$. Mais $g^{p^2-1} = 1$ puisque $g \in E^\times$. On a +donc $u_r^2 + v_r^2 = 1$. + +Si $0 \leq r \leq p$, c'est-à-dire $0 \leq r < p+1$, alors $0 \leq +r(p-1) < p^2-1$. Puisque $g$ est d'ordre exactement $p^2-1$, les +$g^s$ pour $0 \leq s < p^2-1$ sont deux-à-deux distincts, et en +particulire les $g^{r(p-1)}$ pour $0 \leq r < p+1$ le sont. Comme par +ailleurs $u_r$ et $v_r$ déterminent complètement $u_r + v_r +\sqrt{-1}$, les couples $(u_r,v_r)$ avec $0 \leq r \leq p$ sont +eux-mêmes deux-à-deux distincts. +\end{corrige} + +(14) Réciproquement, si $u,v$ dans $\mathbb{F}_p$ vérifient $u^2 + v^2 += 1$, montrer que $u + v\sqrt{-1}$ peut s'écrire sous la forme +$g^{r(p-1)}$ (on a donc $(u,v) = (u_r,v_r)$) pour un certain $r$ qu'on +peut trouver vérifiant $0 \leq r \leq p$. + +\begin{corrige} +Comme $g$ est primitif, on peut écrire $u + v\sqrt{-1} = g^s$ pour un +certain $s$ vérifiant $0 \leq s < p^2-1$. L'hypothèse $u^2 + v^2 = 1$ +assure que $(u+v\sqrt{-1})^{p+1} = 1$ (d'après (11)), c'est-à-dire +$g^{s(p+1)} = 1$. Autrement dit, $s(p+1)$ est multiple de $p^2-1$. +Quitte à diviser par $p+1$, on voit donc que $s$ est multiple +de $p-1$, c'est-à-dire qu'on peut écrire $s = r(p-1)$, et on a alors +bien $u + v\sqrt{-1} = g^{r(p-1)}$ avec $0 \leq r < p+1$ (puiqsue $r = +\frac{s}{p-1}$). +\end{corrige} + +(15) Des questions précédentes, déduire le nombre de solutions $(u,v)$ +dans $\mathbb{F}_p$ de l'équation $u^2 + v^2 = 1$. + +\begin{corrige} +On a montré que ces solutions étaient les $(u_r,v_r)$ avec $0\leq r +\leq p$, qui sont distinctes. Il y en a donc $p+1$. +\end{corrige} + % % % |