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diff --git a/exercices2b.tex b/exercices2b.tex index 656c670..546c295 100644 --- a/exercices2b.tex +++ b/exercices2b.tex @@ -26,7 +26,7 @@ \newcommand{\ppcm}{\operatorname{ppcm}} \newcommand{\signe}{\operatorname{signe}} \newcommand{\tee}{\mathbin{\top}} -\newcommand{\Frob}{\operatorname{Fr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} \newcommand{\dothis}{\leavevmode\hbox to0pt{\hskip-\parindent\HandRight{}\hskip0ptplus1fil}} \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -100,4 +100,64 @@ y$ en général. % % % + +\exercice + +Soit $q = p^d$ une puissance d'un nombre premier $p$. + +(A) On appelle \emph{trace absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien trace +dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{tr} +\colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in +\mathbb{F}_q$ sur la somme $\sum_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$ +itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$ +désigne $x^{p^i}$. + +(0) Montrer que $\mathrm{tr}(x+y) = \mathrm{tr}(x) + \mathrm{tr}(y)$ +pour tous $x,y \in \mathbb{F}_q$ et que $\mathrm{tr}(cx) = +c\,\mathrm{tr}(x)$ si $c \in \mathbb{F}_p$ et $x \in \mathbb{F}_q$. + +(1) Montrer que $\mathrm{tr}$ prend en fait des valeurs dans +$\mathbb{F}_p$. (On pourra pour cela chercher à calculer +$\Frob(\mathrm{tr}(x))$.) + +(2) Expliquer pourquoi $\mathrm{tr}(x)$ est un polynôme de $x$ (dont +on calculera le degré). + +(3) Montrer qu'il existe $x \in \mathbb{F}_q$ tel que $\mathrm{tr}(x) +\neq 0$. + +(4) En déduire que $\mathrm{tr}$ prend toutes les valeurs +de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on +pourra par exemple commencer par montrer qu'elle prend la valeur $1$). + +\smallbreak + +(B) On appelle \emph{norme absolue} dans $\mathbb{F}_q$ (ou bien norme +dans $\mathbb{F}_q$ sur $\mathbb{F}_p$) l'application $\mathrm{N} +\colon \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_q$ qui envoie un élément $x \in +\mathbb{F}_q$ sur le produit $\prod_{i=0}^{d-1} \Frob^i(x)$ des $d$ +itérées consécutives du Frobenius, où comme d'habitude $\Frob^i(x)$ +désigne $x^{p^i}$. + +(0) Montrer que $\mathrm{N}(xy) = \mathrm{N}(x)\,\mathrm{N}(y)$ pour +tous $x,y \in \mathbb{F}_q$. + +(1) Montrer que $\mathrm{N}$ prend en fait des valeurs dans +$\mathbb{F}_p$. (On pourra pour cela chercher à calculer +$\Frob(\mathrm{N}(x))$.) + +(2) Exprimer $\mathrm{N}(x)$ comme une certaine puissance de $x$ (dont +on calculera l'exposant). + +(3) Montrer que $\mathrm{N}(x) = 0$ si et seulement si $x=0$. + +(4) Montrer que $\mathrm{N}$ prend toutes les valeurs +de $\mathbb{F}_p$ (i.e., qu'il s'agit d'une fonction surjective ; on +pourra considérer $\mathrm{N}(g)$ pour $g$ un élément primitif de +$\mathbb{F}_q^\times$, et montrer qu'il est d'ordre $p-1$ dans +$\mathbb{F}_p^\times$). + +% +% +% \end{document} |