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diff --git a/controle-20121127.tex b/controle-20121127.tex index e030222..f332e5b 100644 --- a/controle-20121127.tex +++ b/controle-20121127.tex @@ -124,4 +124,60 @@ x^{256}$ sur $\mathbb{Z}/65535\mathbb{Z}$.) % % % + +\exercice + +Soit $f = t^8 + t^4 + t^3 + t^2 + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$. On admet +que ce polynôme est irréductible. On pose $E = \mathbb{F}_2[t]/(f)$. + +(1) Combien d'éléments $E$ a-t-il ? Combien d'éléments $E^\times$ (le +groupe des inversibles de $E$) a-t-il ? + +On désignera par $\alpha \in E$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$ +modulo $f$. + +(2) Que peut-on dire \textit{a priori} de l'ordre multiplicatif +de $\alpha$ ? + +(3) Calculer les valeurs de $\alpha^i$ dans $E$ (c'est-à-dire la +classe de $t^i$ modulo $f$) pour $i \leq 17$. + +Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat : +$\alpha^{17} = \alpha^7 + \alpha^4 + \alpha^3$. On notera aussi +$\beta$ cet élément $\alpha^{17} \in E$. + +(4) Calculer de même les valeurs de $\alpha^i$ les valeurs suivantes +de $i$ : $34$, $51$, $68$ et $85$ (c'est-à-dire les multiples de $17$ +jusqu'à $85$ inclus). + +Pour permettre de vérifier les calculs, on donne le dernier résultat : +$\alpha^{85} = \alpha^7 + \alpha^6 + \alpha^4 + \alpha^2 + \alpha$. + +(5) Que vaut l'ordre multiplicatif de $\alpha$ ? (Remarque : $255 = 3 +\times 5 \times 17$.) Quel est l'ordre multiplicatif de $\beta = +\alpha^{17}$ ? + +(6) Que vaut $\beta^{16}$ ? + +(7) Vérifier que $\beta^4 + \beta + 1 = 0$. + +On pose $g = t^4 + t + 1 \in \mathbb{F}_2[t]$, et $K = +\mathbb{F}_2[t]/(g)$. + +On appelle $\Phi\colon \mathbb{F}_2[t] \to E$ l'application $P \mapsto +P(\beta)$ qui à un polynôme $P \in \mathbb{F}_2[t]$ associe la valeur +de celui-ci en $\beta$. Par exemple, la question (7) signifie que +$\Phi(g) = 0$. + +(8) Pourquoi a-t-on $\Phi(h) = \Phi(h')$ si $h \equiv h' \pmod{g}$ ? +En déduire qu'on peut définir une application $\varphi \colon K \to E$ +qui envoie la classe (modulo $g$) d'un polynôme $h \in +\mathbb{F}_2[t]$ sur $\Phi(h) \in E$. + +On désignera par $\gamma \in K$ (plutôt que $\bar t$) la classe de $t$ +modulo $g$. + +% +% +% \end{document} |