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diff --git a/controle-20081202.tex b/controle-20081202.tex index 1beaee7..a825b8c 100644 --- a/controle-20081202.tex +++ b/controle-20081202.tex @@ -565,8 +565,23 @@ $\mathbb{F}_p[t] / (t^3-a) \cong \mathbb{F}_p \times \exercice -Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif. Combien -d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ? +Montrer que tout $x \in \mathbb{F}_{32}^\times$ est primitif [erreur + dans l'énoncé : il fallait ajouter la précision « sauf $x=1$ »]. +Combien d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ? + +\begin{corrige} +D'après le cours, on sait que $\mathbb{F}_{q}^\times$ est un groupe +cyclique (d'ordre $q-1$) pour toute puissance $q$ d'un nombre premier +(notamment $32 = 2^5$ et $64 = 2^6$). Également d'après le cours, le +nombre de générateurs d'un groupe cyclique (appelés éléments primitifs +lorsqu'il s'agit comme ici du groupe multiplicatif d'un corps fini) +est $\varphi(n)$ où $n$ est l'ordre de ce groupe. Le nombre +d'éléments primitifs dans $\mathbb{F}_{32}^\times$ est donc +$\varphi(32-1) = \varphi(31) = 30$, c'est-à-dire tous sauf +($0$ et) $1$, et le nombre d'éments primitifs dans +$\mathbb{F}_{64}^\times$ vaut $\varphi(64-1) = \varphi(63) = +\frac{1}{2}\times\frac{6}{7}\times 63 = 36$. +\end{corrige} % % @@ -577,6 +592,31 @@ d'éléments de $\mathbb{F}_{64}^\times$ sont primitifs ? Le polynôme $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est-il irréductible ? Est-il primitif ? +\begin{corrige} +Pour tester l'irréductibilité de $t^2 + 1 \in \mathbb{F}_3[t]$, on +peut se contenter de vérifier qu'il n'a pas de racine (soit : $0^2+1 +\neq 0$ et $1^2+1\neq 0$ et $2^2+1\neq 0$ dans $\mathbb{F}_3$), +puisque s'il se factorisait les facteurs auraient degré $1$ et $1$ +donc correspondraient à des racines. Mais on peut également préférer +appliquer mécaniquement le test de Rabin : on vérifie que $t^2+1$ +divise $t^9-t \in \mathbb{F}_3[t]$ (de fait, $t^9-t = (t^7-t^5+t^3-t) +(t^2+1)$) et qu'il est premier avec $t^3-t$ (de fait, $t^3-t = +t(t^2+1) + t$ et $t^2+1 = t\times t + 1$). Ce polynôme est bien +irréductible. + +Maintenant qu'on sait que $t^2+1 \in \mathbb{F}_3[t]$ est +irréductible, on a une représentation du corps à $9$ éléments : +$\mathbb{F}_9 \cong \mathbb{F}_3[t]/(t^2+1)$. La question est de +savoir si l'élément $\bar t$ de ce corps est primitif. Or $\bar t^2 = +-1$ donc $\bar t^4 = 1$, donc cet élément est d'ordre $4$, qui est +plus petit que l'ordre $9-1=8$ du groupe multiplicatif +$\mathbb{F}_9^\times$ : l'élément $\bar t$ n'est pas primitif (plus +explicitement, les seuls éléments de $\mathbb{F}_9 \cong +\mathbb{F}_3[t]/(t^2+1)$ qui sont des puissances de $\bar t$ sont $\pm +1$ et $\pm t$). Cela signifie (par définition) que le polynôme $t^2+1 +\in \mathbb{F}_3[t]$ n'est pas primitif. +\end{corrige} + % % % |