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+++ b/controle-20091124.tex
@@ -97,7 +97,7 @@ $745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,507\,306\,660$.
 
 \begin{corrige}
 (A)�(1)�On a $10 \equiv 1 \pmod{9}$ donc $10^n \equiv 1^n \equiv
-  1\pmod{9}$.  (2)�Si $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i 10^i$ (avec $a_i
+  1\pmod{9}$.  (2)�Si $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i\, 10^i$ (avec $a_i
   \in \{0,1,2,\ldots,9\}$) est l'�criture en base�$10$ d'un entier
   naturel�$A$, alors $A \equiv \sum_{i=0}^{+\infty} a_i \pmod{9}$
   puisque $10^i \equiv 1$ comme on vient de le voir�: on a bien montr�
@@ -137,7 +137,7 @@ $745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$.
 (B)�(1)�On a $10 \equiv -1 \pmod{11}$ donc $10^n \equiv (-1)^n \equiv
   1\pmod{11}$, c'est-�-dire concr�tement que $10^n$ vaut $+1$ ou $-1$
   modulo�$11$ selon que $n$ est respectivement pair ou impair.  (2)�Si
-  $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i 10^i$ (avec $a_i \in
+  $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i\, 10^i$ (avec $a_i \in
   \{0,1,2,\ldots,9\}$) est l'�criture en base�$10$ d'un entier
   naturel�$A$, alors $A \equiv \sum_{i=0}^{+\infty} (-1)^i a_i
   \pmod{11}$ puisque $10^i \equiv (-1)^i$ comme on vient de le voir�:
@@ -197,7 +197,7 @@ $10^{6k+i} \equiv 10^i \pmod{7}$�: ainsi, dans la table ci-dessus,
 l'indice�$i$ peut se lire modulo�$6$.
 
 \leavevmode\hphantom{(C)}�(2)�D'apr�s ce qu'on vient d'expliquer, un
-entier naturel $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i 10^i$ (�crit en d�cimal)
+entier naturel $A = \sum_{i=0}^{+\infty} a_i\, 10^i$ (�crit en d�cimal)
 est congru modulo�$7$ � la somme de ses chiffres d�cimaux $a_i$ chacun
 multipli� par une valeur dans $\{\pm 1, \pm 2, \pm 3\}$ donn�e (en
 fonction de $i$ modulo�$6$) par la table ci-dessus�: c'est-�-dire $a_0
@@ -224,7 +224,7 @@ $6$\hphantom{\textbackslash $i\rightarrow$}&$6$&$4$&$5$&$1$&$3$&$2$\\
 \end{center}
 
 \noindent Avec ce tableau, pour calculer la classe modulo�$7$ de $A =
-\sum_{i=0}^{+\infty} a_i 10^i$, il suffit de sommer les valeurs des
+\sum_{i=0}^{+\infty} a_i\, 10^i$, il suffit de sommer modulo�$7$ les valeurs des
 cases de chaque chiffre (la ligne �tant d�termin�e par la valeur $a_i$
 du chiffre d�cimal en question, et la colonne par l'exposant $i$
 modulo�$6$ de la puissance de�$10$ utilis�e).  Il s'agit simplement
@@ -264,7 +264,7 @@ $13$ modulo�$19$�?
   rendre compte que $19+13 = 32$ convient pour des raisons de
   sym�trie.  Pour proc�der de fa�on plus syst�matique, cherchons une
   relation de B�zout entre $19$ et�$13$, qui sont visiblement premiers
-  entre eux (et ceci va de toute fa�on le confirmer)�: on a $19 = 13 +
+  entre eux (et ceci va de toute fa�on le confirmer)�: on a $19 = 1\times 13 +
   6$ puis $13 = 2\times 6 + 1$ donc le pgcd est bien�$1$, et on a $1 =
   13 - 2\times 6 = 3\times 13 - 2\times 19$.  Ainsi, d'apr�s un
   r�sultat du cours (version ��effective�� du th�or�me chinois), un
@@ -293,7 +293,7 @@ est multiple de�$19$�?
 (B)�Se terminer par�$23$ en base�$10$ signifie �tre congru � $23$
   modulo�$100$.  Cherchons une relation de B�zout entre $100$ et�$19$
   qui sont premiers entre eux�: on a $100 = 5\times 19 + 5$ et $19 =
-  3\times 5 + 4$ et $5 = 4 + 1$ donc $1 = 5 - 4 = 4 \times 5 - 19 = 4
+  3\times 5 + 4$ et $5 = 1\times 4 + 1$ donc $1 = 5 - 4 = 4 \times 5 - 19 = 4
   \times 100 - 21 \times 19$.  Ainsi, d'apr�s un r�sultat du cours
   (version ��effective�� du th�or�me chinois), un nombre congru � $23$
   modulo�$100$ et � $0$ modulo�$19$ (i.e., divisible par�$19$) est
@@ -324,7 +324,7 @@ et � $2$ modulo�$3$, et � $3$ modulo�$5$, et � $4$ modulo�$7$.)
   congruences de ce genre, il vaut mieux les trouver de m�me taille
   et, si possible, v�rifiant une relation de B�zout simple�: le plus
   �conomique est donc de mettre $2$ avec�$7$ et $3$ avec $5$, ce qui a
-  le bon go�t que $15-14 = 1$ est une relation de B�zout �vidente
+  le bon go�t que $1\times 15 - 1\times 14 = 1$ est une relation de B�zout �vidente
   entre $3\times 5$ et $2\times 7$.  Par t�tonnement, on trouve que
   $11$ (et exactement les nombres de sa classe modulo�$14$) est congru
   � $1$ modulo�$2$ et � $4$ modulo�$7$, et que $8$ (et exactement les
@@ -425,7 +425,7 @@ primitifs�?
 
 \begin{corrige}
 (A)�(1)�On peut par exemple remarquer que le polyn�me $f = t^2 + t - 1
-  \in \mathbb{F}_3[t]$ n'a pas de racine dans�$\mathbb{F}_3$ (car
+  \penalty0 \in \mathbb{F}_3[t]$ n'a pas de racine dans�$\mathbb{F}_3$ (car
   $f(0) = -1$, $f(1) = 1$ et $f(-1) = -1$), ce qui interdit qu'il
   poss�de une factorisation non-triviale (car si $f = f_1 f_2$ avec
   $f_1,f_2$ de degr�$<2$, ils seront chacun de degr�$1$, donc ils
@@ -498,16 +498,16 @@ $\bar t^i$&$1$&$\bar t$&$-\bar t+1$&$-\bar t-1$&$-1$&$-\bar t$&$-\bar t-1$&$\bar
 \noindent Le fait (qu'on trouve ensuite) que $\bar t^8 = 1$ �tait
 pr�vu par le petit th�or�me de Fermat g�n�ralis�.  Comme on a trouv�
 $8$ puissances de $\bar t$ distinctes (c'est-�-dire qu'on n'est pas
-retomb� sur�$1$ avant ce que le petit th�or�me de Fermat impos�),
+retomb� sur�$1$ avant ce que le petit th�or�me de Fermat impose),
 l'�l�ment $\bar t$ est primitif.  La table ci-dessus est alors la
 donn�e d'un isomorphisme $i \mapsto \bar t^i$ entre le groupe additif
 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ et le groupe multiplicatif
 $\mathbb{F}_9^\times$ (tous deux �tant cycliques d'ordre�$8$).  Les
 g�n�rateurs de $\mathbb{F}_9^\times$ sont alors les $\varphi(8) = 4$
-�l�ments �crits qui correspondent � un g�n�rateur de
+�l�ments qui correspondent � un g�n�rateur de
 $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ par cet isomorphisme�: comme les g�n�rateurs
 du groupe additif $\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$ sont $1,3,5,7$ (ce sont les
-�l�ments nombres premiers avec�$8$ modulo�$8$, c'est-�-dire les
+nombres premiers avec�$8$ modulo�$8$, c'est-�-dire les
 nombres impairs), les g�n�rateurs de $\mathbb{F}_9^\times$, autrement
 dit les �l�ments primitifs de�$\mathbb{F}_9$, sont $\bar t$, $-\bar
 t-1$, $-\bar t$ et $\bar t+1$.
@@ -564,7 +564,7 @@ $\bar t$ est-il primitif dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^5 + t^2 + 1)$�?
   Forbenius), $t^{16} \equiv t^6 + t^4 + 1 \equiv t^4 + t^3 + t + 1
   \pmod{f}$ (car on a vu $t^6 \equiv t^3 + t$), et en �levant de
   nouveau au carr�, $t^{32} \equiv t^8 + t^6 + t^2 + 1 \equiv (t^3 +
-  t^2 + 1) + (t^3 + t) + t^2 + 1 \equiv t \pmod{f}$, ce qui prouve
+  t^2 + 1) + (t^3 + t) + t^2 + 1 = t \pmod{f}$, ce qui prouve
   bien que $f$ divise $t^{32} - t$.  On pouvait aussi, bien entendu,
   poser la division euclidienne (mais elle est un peu
   fastidieuse\footnote{On trouve $t^{32} + t = (t^{27} + t^{24} +