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diff --git a/controle-20091124.tex b/controle-20091124.tex index 13ac0c2..8a99e0b 100644 --- a/controle-20091124.tex +++ b/controle-20091124.tex @@ -53,10 +53,13 @@ Les exercices sont complètement indépendants. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître -de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. À -l'intérieur d'un exercice, les questions se suivent normalement dans -un ordre logique, et il est vivement recommandé de les traiter dans -cet ordre. +de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. + +À l'intérieur d'un exercice donné (sauf l'exercice 3), les parties +A,B,C..., sont encore essentiellement indépendantes, mais comme elles +peuvent se ressembler et s'éclairer les unes les autres il est +recommandé de les traiter dans l'ordre. Les questions +1,2,3... dépendent les unes des autres. Le sujet étant volontairement trop long pour le temps imparti, il ne sera pas nécessaire de traiter tous les exercices pour avoir le @@ -66,9 +69,9 @@ lire, pour bien choisir ceux que l'on traitera. Il n'est pas nécessaire de faire des réponses longues. L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou -imprimées, livres) est autorisée. +imprimées, livres) est autorisé. -L'usage des calculatrices électroniques est interdite. (Certains +L'usage des calculatrices électroniques est interdit. (Certains exercices peuvent apparaître calculatoires, mais les calculs sont toujours faisables à la main en un temps raisonnable, parfois au prix de quelques astuces.) @@ -93,12 +96,12 @@ euclidienne par $9$ d'un entier naturel écrit en décimal ? $745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,507\,306\,660$. (B) (1) À quoi est congru $10^n$ modulo $11$ (en fonction -éventuellement de l'entier naturel $n$) ? (2) Comment faire pour -calculer très simplement le reste de la division euclidienne par $11$ -d'un entier naturel écrit en décimal ? (Remarque : le nombre $10$ -peut s'écrire d'une manière très simple modulo $11$...) (3) Montrer -que la multiplication suivante est encore erronée : $745\,330\,964 -\times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$. +éventuellement de l'entier naturel $n$) ? (Remarque : le nombre $10$ +peut s'écrire d'une manière très simple modulo $11$...) (2) Comment +faire pour calculer très simplement le reste de la division +euclidienne par $11$ d'un entier naturel écrit en décimal ? +(3) Montrer que la multiplication suivante est encore erronée : +$745\,330\,964 \times 390\,158\,565 = 290\,797\,259\,517\,306\,660$. (C) (1) À quoi est congru $10^n$ modulo $7$, selon la valeur de $n$ ? (2) Proposer une méthode (moins simple que celles données en A et B, @@ -179,8 +182,10 @@ $\bar t$ est-il primitif dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^5 + t^2 + 1)$ ? $\mathbb{F}_2[t]$ : on a $t^{19}+1 = {(t+1)} \penalty0\, {(t^{18}+t^{17}+t^{16} + \cdots + t^3+t^2+t+1)}$. On appellera $\Phi_{19}$ le second facteur ($t^{18}+\cdots+t+1$). On \emph{admet} -que $\Phi_{19}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. (2) Quel est -l'ordre multiplicatif de l'élément $\bar t$ (représent par $t$) dans +que $\Phi_{19}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_2[t]$. + +\leavevmode\hphantom{(D)} (2) Quel est l'ordre multiplicatif de +l'élément $\bar t$ (représent par $t$) dans $\mathbb{F}_2[t]/(t^{19}+1)$ ? Dans $\mathbb{F}_2[t]/(\Phi_{19})$ ? Quel est le nombre d'éléments de ce dernier (on ne demande pas de l'écrire en décimal) ? Est-ce un corps ? L'élément $\bar t$ est-il |