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diff --git a/controle-20101123.tex b/controle-20101123.tex index 129d3a3..c884f88 100644 --- a/controle-20101123.tex +++ b/controle-20101123.tex @@ -167,6 +167,34 @@ ci-dessus.) (2) En déduire que $n^{561} \equiv n \pmod{561}$ pour tout entier $n$. +\begin{corrige} +(1) On sait que $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$ pour tout entier $n$ non + multiple de $3$ (théorème d'Euler ou petit théorème de Fermat). + Comme $560$ est multiple de $2$, on a \textit{a fortiori} $n^{560} + \equiv 1 \pmod{3}$. Ceci permet d'affirmer $n^{561} \equiv n + \pmod{3}$ lorsque $n$ n'est pas multiple de $3$ ; or la même égalité + vaut encore pour $n \equiv 0 \pmod{3}$ (c'est simplement $0=0$). On + a bien prouvé $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ pour tout $n$. + +De même : on sait que $n^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ pour tout entier $n$ +non multiple de $11$. Comme $560$ est multiple de $10$, on a +\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{11}$. Ceci permet +d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{11}$ pour $n$ non multiple de $11$, +et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $11$. + +De même : on sait que $n^{16} \equiv 1 \pmod{17}$ pour tout entier $n$ +non multiple de $17$. Comme $560$ est multiple de $16$, on a +\textit{a fortiori} $n^{560} \equiv 1 \pmod{17}$. Ceci permet +d'affirmer $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour $n$ non multiple de $17$, +et c'est encore vrai pour $n$ multiple de $17$. + +(2) On a montré $n^{561} \equiv n \pmod{3}$ et $n^{561} \equiv n +\pmod{11}$ et $n^{561} \equiv n \pmod{17}$ pour tout entier $n$. +Comme $3,11,17$ sont premiers entre eux deux à deux, le théorème +chinois assure qu'on a alors la congruence $n^{561} \equiv n$ +modulo $3\times 11\times 17 = 561$. +\end{corrige} + % % % |