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diff --git a/rappels-maths.tex b/rappels-maths.tex index ed3d328..e56aa48 100644 --- a/rappels-maths.tex +++ b/rappels-maths.tex @@ -40,7 +40,7 @@ \maketitle {\footnotesize \begin{center} -CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.5 2008-10-14 11:04:11 david Exp $= +CVS: \verb=$Id: rappels-maths.tex,v 1.6 2008-10-14 11:15:34 david Exp $= \end{center} \par} \pretolerance=10000 @@ -989,6 +989,43 @@ PGCD, algorithme d'Euclide, relations de Bézout, Euclide étendu : exactement analogue aux entiers. % +\subsection{Anneaux $k[t]/(P)$} + +Analogues exacts de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Vision abstraite : +$f\equiv g\pmod{P}$ ssi $P$ divise $f-g$, et on quotiente. Vision +concrète : se ramener à $\deg f < \deg P$ par division euclidienne +après chaque opération. + +Élément très important : $\bar t$. + +C'est un espace vectoriel de dimension $\deg P$ sur $k$. Si $k$ est +fini alors $k[t]/(P)$ l'est. + +Théorème chinois : si $P$ et $Q$ sont premiers entre eux, on a +$k[t]/(PQ) \cong (k[t]/(P)) \times (k[t]/(Q))$ (même démo qu'avant, +avec un petit peu d'algèbre linéaire). + +Exemple idiot : $k[t]/(t) \cong k$. Exemples moins idiot : +$\mathbb{R}[t]/(t^2+1) \cong \mathbb{C}$, et $\mathbb{R}[t]/(t^2-1) +\cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (théorème chinois ; noter que ce +n'est pas un corps). + +Exercice : dresser les tables de $\mathbb{F}_2[t]/(t^2+t+1)$. + +% +\section{Corps finis} + +\subsection{Sous-corps premier et caractéristique} + +Caractéristique d'un corps : c'est l'ordre additif de $1$ si celui-ci +est fini (sinon on convient que c'est $0$). + +Tout corps fini contient un $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, qui en est un +sous-corps $\mathbb{F}_p$ : on dit que c'est le sous-corps premier. +Le corps est alors un espace vectoriel dessus : si $d$ est sa +dimension, son nombre d'éléments est $p^d$. + +% % % \end{document} |